¡Bienvenidos! Este artículo es para todos los diseñadores gráficos, industriales, arquitectos, ingenieros y cualquier profesional que trabaje con la transformación de elementos en el plano. Si estás empezando en estas áreas, ¡también es para vos! Porque en este artículo queremos desglosar los conceptos básicos de las funciones afines, esas que a veces suenan complicadas, pero que, con un poco de práctica, vas a poder sacarle la mano sin problema.
Las funciones afines son fundamentales en muchas disciplinas y entenderlas te permite representar mejor tus ideas en una gráfica. No te preocupes si las matemáticas no son tu fuerte; acá lo que queremos es dejarles todo paso a paso, con ejemplos claros y ejercicios prácticos. La idea es que puedas ver la parte analítica de estas funciones de una manera sencilla y aplicable a tu día a día.
Así que, ¡prepárense para conocer este mundo! Al final del artículo, ya vas a estar listo para identificar cuándo y cómo usar estas funciones en tus proyectos. Vamos a hacer que estos conceptos sean tan claros que puedas explicarlos hasta en una servilleta. ¿Empezamos?
1. Qué es la función afín
Para empezar tenemos que responder la gran pregunta: "qué es la función afin". Una función afín es una expresión matemática que representa una recta en un plano cartesiano. Su forma general es f(x)=mx+bf(x)=mx+b, donde mm es la pendiente de la recta y bb es el término independiente, que indica el punto donde la recta cruza el eje yy.
La ecuación de una función afín se diferencia de otras funciones lineales porque incluye un término constante bb que no depende de xx. Esto significa que, aunque la función mantiene una relación lineal entre xx e yy, no necesariamente pasa por el origen del plano.
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Pero para bajarlo a un lenguaje más criollo, imaginemos que tenemos una regla y queremos dibujar una línea recta en un papel cuadriculado. La función afín es como la fórmula que te dice cómo dibujar esa línea.
- Pendiente (m): Pensá en la pendiente como la inclinación de la línea. Si la pendiente es positiva, la línea sube a medida que avanzás hacia la derecha. Sí es negativa, la línea baja. Por ejemplo, si m=2m=2, por cada paso que das a la derecha, subís dos cuadraditos.
- Término independiente (b): Este es el punto donde la línea cruza el eje vertical (el eje yy). Es como si empezaras a dibujar la línea desde un punto más arriba o más abajo del origen (el punto donde se cruzan las dos líneas del papel cuadriculado). Por ejemplo, si b=3b=3, empezás a dibujar desde tres cuadraditos arriba del origen.
- Dominio: Las funciones afines están definidas para todos los números reales, lo que significa que su representación gráfica es una línea continua que se extiende infinitamente en ambas direcciones. Siguiendo con la analogía, el dominio de una función afín es como tener un papel cuadriculado infinito donde podés dibujar tu línea recta sin restricciones.
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Así de simple, ¡ahora podés visualizar cómo se comporta una función afín en el plano!
2. Cómo identificar una función afín
Las personas que ya saben hacerlo, les van a decir que es realmente fácil identificar una función afín. Eso sí, si sabes buscar y ahí es donde entramos nosotros. Les vamos a dejar una guía paso a paso para reconocer una función afín tanto en su forma de ecuación como en una gráfica:
🟡 Paso 1: Identificar en una ecuación
- Forma de la Ecuación: Buscá una ecuación de la forma f(x)=mx+bf(x)=mx+b.
mm es la pendiente de la recta.
bb es el término independiente, que indica dónde la recta cruza el eje yy.
Ejemplo: Considerá la ecuación f(x)=3x−2f(x)=3x−2.
Aquí, m=3m=3 y b=−2b=−2.
Esto significa que la recta tiene una pendiente de 3 y cruza el eje yy en -2.
🟠 Paso 2: Identificar en una gráfica la ecuación
- Observá la Forma: En una gráfica, una función afín se verá como una línea recta.
Pendiente: Fijate en la inclinación de la línea.
Si la línea sube a medida que avanza hacia la derecha, la pendiente es positiva. Si baja, la pendiente es negativa.
Intersección con el Eje yy: Mirá dónde la línea cruza el eje vertical. En el ejemplo de la gráfica, la línea cruza el eje yy en -2, lo que coincide con el término independiente bb.
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Ejercicio práctico:
- Ecuación: Identificá la pendiente y el término independiente en la ecuación f(x)=−4x+5f(x)=−4x+5. Respuesta: Pendiente m=−4m=−4, término independiente b=5b=5.
- Gráfica: Observá la gráfica de f(x)=3x−2f(x)=3x−2 y verificá que la línea cruza el eje yy en -2 y tiene una pendiente de 3.
Entonces podríamos decir que para identificar una función afín: primero hay que buscar una ecuación de la forma f(x)=mx+bf(x)=mx+b, donde mm es la pendiente y bb es el término independiente que indica dónde la recta cruza el eje yy. En una gráfica, fijarse si la línea es recta y corroborar en su inclinación para determinar la pendiente: si sube hacia la derecha, es positiva; si baja, es negativa. Además, verificá el punto donde la línea intersecta el eje yy, que debe coincidir con el valor de bb. Con estos pasos, podrás reconocer fácilmente una función afín tanto en su forma algebraica como en su representación gráfica. Descubrí cómo multiplicar con números reales.
Las funciones afines también se utilizan en la animación y los videojuegos. Cuando un personaje se mueve en línea recta a una velocidad constante en la pantalla, su posición puede ser calculada usando una función afín. ¡Así es como Mario salta de plataforma en plataforma sin perder el ritmo!
3. Función afín ejemplos del mundo real
Desde Superprof pensamos que, a veces, Aprender matemáticas a través de la teoría y los ejercicios aislados, hacen que un cálculo, un problema o cualquier concepto de las matemáticas, parezcan mucho más complejos de lo que realmente son. Muchas personas necesitan de algo relativamente tangible para poder resolver y representar entonces aquello que se quiere alcanzar. Si tenés dudas sobre algunas definiciones matemáticas, consultá nuestro artículo.
Por esa razón, nos pareció bueno e interesante poder transmitirles algunos ejemplos de la vida real en donde vean como las funciones afines se utilizan en diversas profesiones para modelar relaciones lineales con un desplazamiento constante:
🟡 Diseño gráfico: Escalado de imágenes
- Situación: Un diseñador gráfico necesita ajustar el tamaño de una imagen para que se adapte a diferentes formatos de pantalla.
- Aplicación: La relación entre el tamaño original y el nuevo tamaño puede ser modelada con una función afín. Por ejemplo, si cada píxel en la imagen original se escala a 1.5 veces su tamaño y se desplaza 10 píxeles hacia arriba, la función sería f(x)=1.5x+10f(x)=1.5x+10.
- Interpretación: Esto significa que por cada unidad que te movés en la imagen original, la nueva imagen se escala 1.5 unidades y se desplaza 10 unidades hacia arriba.
Tratá estas nociones durante las clases particulares de matematica con tu profesor particular.
🟡 Arquitectura: Diseño de Escaleras
- Situación: Un arquitecto está diseñando una escalera donde cada escalón tiene una altura constante y una profundidad constante.
- Aplicación: La altura total de la escalera en función del número de escalones puede ser modelada con una función afín. Si cada escalón tiene una altura de 20 cm y la escalera comienza a 50 cm del suelo, la función sería f(x)=20x+50f(x)=20x+50.
- Interpretación: Acá, xx representa el número de escalones, y la función te da la altura total de la escalera, que incluye un desplazamiento inicial de 50 cm.
🟡 Ingeniería: Conversión de unidades
- Situación: Un ingeniero necesita convertir temperaturas de Celsius a Fahrenheit.
- Aplicación: La conversión puede ser modelada con una función afín. La fórmula es F=95C+32F=59C+32, donde CC es la temperatura en Celsius y FF es la temperatura en Fahrenheit.
- Interpretación: Esta función muestra cómo cada grado Celsius se escala a 9/5 grados Fahrenheit y se desplaza 32 grados hacia arriba.
¿Tenés dudas sobre qué es el álgebra?
🟡 Economía: Costos de producción
- Situación: Una empresa tiene un costo fijo de producción y un costo variable por unidad producida.
- Aplicación: El costo total puede ser modelado con una función afín. Si el costo fijo es de $1000 y el costo variable es de $5 por unidad, la función sería C(x)=5x+1000C(x)=5x+1000.
- Interpretación: Acá, xx representa el número de unidades producidas, y la función te da el costo total de producción, que incluye el costo fijo inicial.
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Estos ejemplos muestran cómo las funciones afines pueden representar relaciones lineales con un desplazamiento constante en diversas situaciones del mundo real, facilitando la toma de decisiones y el diseño eficiente.
Esperamos que este artículo les haya bajado un poco más a tierra, a partir de los ejemplos y la explicación del concepto, lo que es y como se define una función afín.
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que hermosa explicacion! me encanto!