«Lo que puede ser afirmado sin pruebas, puede ser rechazado sin pruebas». Euclides, matemático griego, cerca del año 300 a.C.

Euclides, conocido como «El Padre de la Geometría», figura eterna de la ciencia matemática, es el autor de la obra Elementos de Euclides, escrita en torno al 300 a.C., tratado matemático que ha cosechado muchos éxitos a lo largo de los años. De hecho, desde los inicios de la imprenta a mediados del siglo XV, fue la obra que más se imprimió después de la Biblia.

Elementos, compuesta por trece libros, se dedica a la geometría plana: triángulos, líneas paralelas (para comprobar el teorema de Pitágoras), propiedades del círculo, abordando otros temas como los números primos, el máximo común divisor y el método de las restas sucesivas repetidas, que es lo que se denomina hoy en día como la «división euclídea».

Euclides vivió entre los siglos III y II a.C., en la época en la que la Antigua Grecia dominaba la cuenca mediterránea. Es innegable que sus trabajos eruditos se extendieron por todo el mundo y que fueron las siguientes civilizaciones, como la antigua Roma, las que los retomaron.

Euclides influyó en el mundo de las ciencias del Renacimiento hasta nuestros días, desde Copérnico a Kepler, desde Galileo hasta Newton, pasando por Spinoza y B. Russell.

En este artículo, Superprof intentará centrarse en el eje motor de la obra de Euclides, tras haber cosechado un gran reconocimiento a nivel internacional: la división euclídea, un concepto bastante presente en las matemáticas desde Cuarto de Educación Primaria hasta Bachillerato.

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La división euclídea: definición y principios

La división euclídea, o división euclideana, es una cuestión básica en los ejercicios de matemáticas durante el segundo ciclo de Educación Primaria, pero que no siempre se domina a la hora de entrar en Quinto o Sexto.

Aprende qué es la división euclídea
Tengo diez fresas y tres niños, ¿cuántas fresas recibirá cada uno?

Se trata de una operación muy famosa dentro del mundo de las matemáticas en la que tenemos dos números enteros naturales (divisor y dividendo) que se asocian a otros dos: el cociente y el resto.

Se utiliza para dividir un número entero natural distinto de cero (≠ 0) entre otro, siendo primero números enteros positivos y luego los números enteros relativos, donde veremos los números enteros negativos.

El algoritmo euclidiano se utiliza principalmente en España en las clases de matemáticas durante la etapa de Primaria: a partir de Cuarto de Primaria, los alumnos se introducen en el mundo de la división mediante problemas y situaciones del tipo ¿cómo se puede dividir un pastel entre cinco personas? ¿Cómo se pueden dividir 47 canicas entre 4 personas?

Posteriormente, los alumnos aprenden a hacer una división de un número entero natural por otro, la división euclídea per se, al hacer la operación en papel.

Esta operación matemática implica dominar o aprender bien las tablas de multiplicar, pero también las reglas básicas de cálculo: sumar, restar, descomponer en números enteros (números pares e impares), etc.

La técnica de la división te permitirá encontrar todos los divisores de un número sin tener que recurrir a una calculadora.

¿Cuál es su modus operandi? Primero, tendrás que averiguar cuántas veces puedes dividir una cantidad entre un número de valor superior.

Por ejemplo, como el cálculo de la división de 30 entre 4 o de 75 entre 7. Cuando uno tiene seis o siete años, el resultado no es tan lógico como ahora pueda parecer.

Cuando calculamos números naturales pequeños, puede ser bastante más llevadero, pero cuando intentamos averiguar cuántas veces el número 4357 contiene el número 28 mediante el cálculo mental, tendremos que haber asimilado bien la técnica de la división básica.

Especialmente, porque después aparecerán los números relativos, que incluyen los números enteros naturales negativos, y entonces aprenderemos cómo dividir números decimales o cómo hacer cálculos con fracciones.

Hacer una división euclídea consiste también en distribuir equitativamente una cantidad «x» entre muchas «y»: ¿cómo podemos dividir 53 canicas entre 5 personas?

En la división por parcelas, daremos una canica a cada una: cada persona posee una canica y quedan 47 y continuamos sucesivamente hasta que no podamos volver a repetir 5 canicas.

En la última división, podremos decir que cada uno de ellos tiene 10 canicas y quedan 3 en reserva. Estas no se pueden dividir, salvo que dos personas salgan perjudicadas, por lo que decimos que el resto es 3.

Cada niño posee 5 canicas: 10 es el cociente.

Por lo tanto, para realizar la división euclídea de 53 entre 5, tendremos que escribir que 30 = 5 x 10 + 3, después de verificar que 3 < 5.

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¿Cómo resolver una división euclídea?

El método de las restas sucesivas específico del algoritmo de Euclides permite simplificar una operación que a primera vista puede parecer bastante compleja.

Además, la magia de las matemáticas es la de hacer accesible un procedimiento que a priori parece imposible.

Matemáticas y divisiones sin calculadora.
Tengo que dividir un número entero de cinco cifras entre otro de tres cifras. ¿Cómo puedo hacerlo sin la calculadora? Sigue este método paso a paso...

Divisor de una cifra

Tomemos como ejemplo la siguiente operación: división de 273 entre 17. Veamos cuántas veces el número 17 está entre 17 y 273.

Para averiguar este resultado, haremos lo siguiente:

Paso 1: comenzaremos por hacer la división, tomando como dividendo 273, que lo escribiremos a la izquierda de la primera columna, y el divisor, que será el 17, que lo pondremos a la derecha.

Paso 2: veremos que 2 es inferior a 17, por lo que tendremos que encontrar cuántas veces 27 contiene el número 17:

17 x 1 = 17, 17 x 2 = 34

Escribimos 1 bajo el divisor (en el lugar del cociente) y hacemos la resta siguiente: 27-17, donde obtenemos 10.

Paso 3: escribimos 10 en el resto.

Después, bajamos la siguiente cifra de la unidad del dividendo (3) junto al 10 y obtenemos 103, que lo dividiremos entre 17. Entonces, tenemos que 17 x 6 = 102, donde obtendremos 6, que será la cifra que habrá que añadir al cociente y después, habrá que hacer la resta de 103 - 102, de donde obtenemos 1.

Por consiguiente, el resultado de dividir es: 273/17 = 17 x 16 + 1, donde el cociente entero de dividir 273 entre 17 es 16 y el resto, 1.

Una división euclídea estará bien si y solo si el resto es más pequeño que el divisor, puesto que si no ocurre así, significará que podremos continuar dividiendo.

Podrás aprender todo esto y más en un curso de matematicas.

Otra peculiaridad que hay que tener en cuenta es que: cuando el resto de la división de «a» entre «b» sea cero, por ejemplo, 20 entre 4, decimos que:

  • «a» es divisible por «b»
  • «a» es múltiplo de «b»
  • «b» es un divisor de «a»

En esta última división (20/4 = 5), vemos que 20 es divisible por 4, pero también tenemos que 20/5 = 4, entonces 20 también es divisible por 5 y, por lo tanto, 5 también es un divisor de 20.

Estos ejercicios de gimnasia mental te permitirán ampliar tu campo de posibilidades, en vez de tener que plantear una multiplicación y una división con cada operación para el conjunto de números: estos son los denominados «criterios de divisibilidad».

Podremos averiguar cualquier número real mediante la aritmética modular, es decir, la que proviene de la división euclídea, muy utilizada por el matemático Pierre de Fermat durante el siglo XVII, gracias a la relación de congruencia entre los números enteros.

Para detectar rápidamente si un número es un divisor de otro, se pueden aplicar algunas reglas, una serie de principios que se abordan durante las primeras clases de matemáticas.

Un número entero es divisible por:

  • 2 si su cifra de las unidades es par (0, 2, 4, 6 u 8);
  • 3 si la suma de las cifras que lo componen es divisible entre 3;
  • 4 si el número formado por sus dos últimas cifras es divisible entre 4;
  • 5 si su cifra de las unidades es igual a 0 o a 5;
  • 9 si la suma de las cifras que lo componen es divisible entre 9;
  • 10 si su cifra de las unidades es igual a 0.

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¿Cómo encontrar el máximo común divisor de un número?

El máximo común divisor (MCD) de dos números enteros distintos a cero es un principio básico de la aritmética general, que permite averiguar el número mayor que lo divide.

Cálculos de divisiones más rápidos
Gracias a las clases de apoyo, lograrás averiguar el cociente y el resto de cualquier división. ¿Cuánto es 32636 entre 243?

Se trata de hacer la lista de todos los divisores para dos valores: por ejemplo, ¿cuál es el MCD de 20 y 36?

  • 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20
  • 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

El MCD de 20 y 36 es, por lo tanto, 4.

Te dejamos otro ejemplo: los divisores comunes de 36, 48 y 60 son: 1, 2, 3, 4, 6 y 12, por lo que el MCD será 12.

MCD (36, 48, 60) = 12

Se pueden utilizar otros dos métodos alternativos, más cortos: el método de las restas sucesivas y la división euclídea (sí, de nuevo) para calcular el MCD, por ejemplo, de 116 y 78:

  • Mediante restas sucesivas: 116 – 78 = 38, 78 – 38 = 40, 40 – 38 = 2, 2 – 2 = 0. MCD (116, 78) = 2.
  • Mediante el método de Euclides: 116 = 78 x 1 +38, 78 = 38 x 2 + 2, 37 = 19 x 2 + 0. MCD (116, 78) = 2.

El principio es el mismo para ambos métodos: restamos número al otro tantas veces como sea posible y vamos viendo cuál es el resto.

¡Descubre qué es el álgebra!

Los diferentes métodos de división euclidiana

Comprender la división euclidiana
Las divisiones euclidianas son problemas matemáticos que hay que saber resolver independientemente de la dificultad del problema o de sus componentes.

Existen otras técnicas para resolver las divisiones euclidianas, y es lo que llamamos un algoritmo de cálculo. Entre números enteros, se puede hacer simplemente una descomposición, según varios ejercicios de matemáticas. Luego realizamos varios cálculos, específicos de la división euclidiana, que nos permitirán resolver la ecuación sin dificultad.

Hablamos de números enteros que ya han tenido resta, suma, comparación, etc. Aquí calculamos el cociente de la división euclidiana, el resto del cual se deduce naturalmente. Por lo tanto, podríamos dividir este tipo de cálculo en tres métodos: el método de sustracciones, el método binario y el método decimal.

El método de sustracciones

En la división euclidiana, el método de sustracciones es el método descrito por el propio Euclides y consta de sustracciones sucesivas, siempre que la operación sea posible. Por lo tanto, podemos construir una secuencia aritmética completamente decreciente. Existen diferentes métodos, pero este es el más evidente, restando y comenzando una y otra vez.

El método binario

El método binario es un principio y un método procedente de la técnica de la división, que se realizó en el antiguo Egipto. El principio es simple, ya que se trata una construcción a la inversa de una multiplicación egipcia. Desde un punto de vista más concreto, es suficiente llenar una tabla, donde aparecen las potencias de 2, así como su producto por b.

La idea es entonces formar el múltiplo más grande, deteniéndose justo antes de superar el en la segunda columna. Cuando se añaden las casillas correspondientes a la columna número 1, se alcanza el cociente de división. A diferencia del método de sustracciones, aquí no revisaremos todos los enteros desde 0 hasta encontrar el cociente correcto, sino que buscaremos dicotómicamente en la lista finita de posibles cocientes que quedan.

El método decimal

Métodos de la división euclidiana
Sea cual sea el método utilizado, la división euclidiana es una operación que siempre nos reunirá en torno a las matemáticas.

El método decimal es un método que se utilizó en ciertas civilizaciones, especialmente aquellas que, lógicamente, adoptaron el sistema decimal. Este método dio origen a la división larga. En China, se concibe muy pronto, y es simplemente una división, comenzando por la más alta.

Esta técnica china, por lo tanto, desarrolla en tres líneas, un algoritmo:

  • Una línea donde forma poco a poco el cociente,
  • Otra línea, donde se coloca el dividendo y evolucionará a lo largo del cálculo,
  • Una tercera y última línea, donde colocaremos el divisor.

De una manera muy simple, comenzamos colocando el divisor a la izquierda y calculamos todo sin tener en cuenta los números a la derecha.

Ponemos el cociente en la primera línea, y el resto reemplaza las cifras del dividendo. Hacemos el cálculo una y otra vez hasta el final. Y ahora viene el carácter euclidiano, pero en principio, este es un método que corresponde más a nuestras expectativas y a lo que sabemos de un cálculo matemático.

La imagen de la división euclidiana

Utilidad de la división euclidiana
La división euclidiana tiene una imagen distorsionada, tal vez por su nombre, tal vez también por las representaciones e interpretaciones que se hacen de ella.

En general, la división euclidiana y las matemáticas tienen una imagen que a veces se asemeja a una mala reputación. Suele ser una mala imagen, distorsionada, que contribuye a que esta parte de nuestra cultura sea inaccesible y poco atractiva. Porque ¿quién ha asociado valores positivos y divertidos a una ecuación matemática? No mucha gente, seguramente.

La mala imagen de la división euclidiana

Así es, esta es la imagen de la división euclidiana. Un concepto extraño y poco claro de las matemáticas, que no entusiasma a nadie. También la vemos a veces en los dibujos animados, en un contexto de total incomprensión. Sin embargo, no es ni más ni menos que una división básica, que le sirve a todo el mundo en la vida cotidiana.

La nombramos como ejemplo cuando queremos comparar algo complicado de resolver, la usamos para mostrar la naturaleza complicada e infructuosa de una situación, la mencionamos cuando se trata de hacer que alguien se pierda o complicar intensamente un tema. Sí, por supuesto, la división euclidiana hay que dominarla, pero todo esto es un pequeño cliché, que finalmente se aprenderá perfectamente.

La división euclidiana: un concepto básico que hay que dominar

Los conceptos básicos de las matemáticas no hay que olvidarlos, ya que nos son muy útiles en nuestra vida cotidiana.

De hecho, la división euclidiana es un tipo de práctica que, a pesar de su mala imagen, aparece en muchas situaciones cotidianas y se usa regularmente sin darnos cuenta. Así que, ya sabes, ¡empápate de todos los conocimientos básicos de las matemáticas para comprender las situaciones más sencillas cuando vayas a la panadería, por ejemplo!

La división euclidiana, aparte del hecho de que es útil, es muy emocionante y estimulante, ¡ya sea que quieras hacer por ti mismo o simplemente te interese! Probablemente este sea su punto fuerte, como muchos otros cálculos matemáticos: te emocionas y realmente te interesas, concentrándote solo en las matemáticas. Antes, solo era un concepto vago poco atractivo para los mortales.

Aprender la división euclidiana gracias a un profesor particular

Cömo aprender la división euclidiana
Gracias a su formación y experiencia, el profesor particular de matemáticas podrá ayudarte a hacer que la división euclidiana sea cada vez más clara.

Sea cual sea nuestro interés por las matemáticas, la división euclidiana es una operación útil para todo el mundo, cuyo uso puede hacerte querer aprender lo básico, pero también ir más allá. Esta es la razón por la cual un profesor estará en mejores condiciones para presentarte este método, tanto si eres estudiante de instituto como adulto.

Un profesor particular, sí, pero ¿de qué? ¡Pues de matemáticas, claro! Como se supone que todos los profesores de matemáticas son capaces de controlar la división euclidiana al dedillo, no tendrás problemas para encontrar uno. Queda por ver qué tipo de clases te interesan más o se ajustan más a tus expectativas y habilidades.

Las clases particulares serán el tipo de enseñanza con mayor probabilidad de hacerte asimilar rápidamente el principio y la evolución de una división euclidiana, mientras que las clases en grupo darán más la sensación de progresar en conjunto, en grupo, con una emulación que, al final, será colectiva y estimulante.

Sin embargo, también hay otras formas de aprender y progresar en la división euclidiana. Las clases en línea son una muy buena manera y una excelente alternativa para aprender un aspecto matemático específico como este, en lugar de pagar clases particulares presenciales que solo resultan útiles tras varias semanas. En Superprof, también hay clases en línea, ¡no dudes en echar un vistazo!

También podríamos confiar en nuestras propias habilidades, en nuestra inteligencia y en nuestra capacidad de asimilar conceptos. En este caso, solo hace falta un buen libro de matemáticas, un manual eficaz o algunas páginas web explicativas, y hacer muchos ejercicios.

Además, si has leído este artículo, puedes decir qué es una división euclidiana, por lo que ¡el profesor solo te ayudará a hacer ejercicios!

Aprender a hacer la división euclídea mediante vídeos

Si, a pesar de todos los recursos que tienes a tu disposición para aprender matemáticas y las posibles consultas que puedes plantear en las clases de mates, el cerebro aún no logra comprender cómo averiguar la solución, no te preocupes, tienes a tu alcance una herramienta ideal para perfeccionar las divisiones: los vídeos de YouTube. ¿Necesitas un profesor de matematicas online?

Los profesores te explicarán mediante una metodología sencilla cómo hacer una división fácilmente. Aquí te dejamos un ejemplo:

Este primer vídeo planteaba una división simple con un divisor de una cifra. Aquí te dejamos una división con dos cifras: