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En bachillerato, el problema del estudio de las funciones aparece todos los años en la prueba de matemáticas de selectividad.
En este tipo de problema tienes que estudiar una función polinómica, exponencial, logarítmica o trigonométrica. Ecuaciones, tablas de variaciones y enigmas: ¿Cómo abordarlos?
El estudio de una función consiste en analizar sus variables y sus límites, buscar sus extremos, encontrar sus asíntotas, si existen, y, finalmente, dibujarlas.
Por lo tanto, estudiar las variables de una función es una pregunta tipo que se repite siempre en las pruebas de matemáticas.
En este artículo, os vamos a presentar el método general para estudiar las variables de una función definida en un intervalo, dibujar la tabla de variaciones y, a continuación, dibujar su gráfico.
Tomemos el ejemplo de la función f(x) definida y dada por:
f(x) = x3 + 3x2 -9x +6
Derivar la función
La función f(x) es una función polinómica formada por la suma de 3 términos con la forma «axn» (siendo a y n números enteros naturales) y por una constante. Sabiendo que la derivada de «axn» tiene la forma «anxn-1» y que la derivada de una constante es nula, la derivada de f(x) es la siguiente:
f'(x) = 3x2 +6x -9.
Descomponer en factores, si es posible, la derivada de f
El objetivo de esta etapa es el de descomponer la derivada de la función f(x) con el fin de expresarla bajo la forma de un producto o de un cociente de expresiones. La descomposición en factores es una etapa clave que no hay que olvidar porque facilita enormemente el estudio del signo f'(x).
Como veis, factorizar es como resolver un enigma matemático.
Señalamos que se pueden tomar 3 factores, lo que da: f'(x) = 3(x2 +2x -3).
x2 +2x -3 es un trinomio de segundo grado con la forma ax2 +bx +c, donde a, b y c son números reales. Para descomponer este trinomio, primero hay que calcular el discriminante y encontrar las raíces x1 y x2.
= b2 -4ac = 22 -4×1×-3 = 4 +12 = 16
Así, se pueden calcular las raíces a través de las dos siguientes fórmulas:
x1= -3
x2= 1
Señalemos que si el discriminate es positivo (y, por lo tanto, las dos raíces existen), el trinomio puede escribirse bajo la forma factorizada (x- x1) (x- x2 ), lo que da x2 +2x -3 = (x-(-3)) (x-1) = (x+3) (x-1).
Por lo tanto, la derivada de la función se escribe bajo la forma siguiente:
f'(x) = 3(x+3) (x-1)
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Estudiar el signo de f'(x) en el intervalo l
3 es un número positivo, por lo que el signo de f'(x) es idéntico al signo de (x+3)(x-1).
Resolvamos las siguientes inecuaciones:
x + 3 > 0 => x > -3, por lo tanto, el binomio x+3 es positivo cuando x es superior a -3, nulo cuando x es igual a -3 y negativo cuando x es inferior a -3.
x – 1 > 0 => x > 1, por lo tanto, el binomio x-1 es positivo cuando x es superior a 1, nulo cuando x es igual a 1 y negativo cuando x es inferior a 1.
La tabla de signos de la derivada f'(x) se presenta a continuación:
| x | – ∞ | -3 1 | +∞ |
| x + 3 | – 0 + + | ||
| x – 1 | – – 0 + | ||
| f'(x) | + 0 – 0 + | ||
Señalemos que habríamos podido determinar el signo del trinomio x2 +2x -3 utilizando otro método.
De hecho, cuando el discriminante es positivo, el trinomio ax²+bx+c toma el signo contrario de a en el intervalo comprendido entre las dos raíces, x y x2, y el mismo signo que a en otro lugar.
Si quieres saber como factorizar y entender mejor los números complejos, consulte nuestro artículo.
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Elaborar la tabla de variaciones de f en l
f siendo derivable en adelante, para cualquier intervalo J incluido en:
– si f'(x) > 0 para toda x perteneciente a J, f se cruza estrictamente sobre J.
– si f'(x) < 0 para toda x perteneciente a J, f no se cruza en J.
La tabla de variaciones es la representación esquemática de las direcciones que toma la curva representativa de una función.
Para que practiques, coloca las flechas en la tabla de la parte inferior.
La tabla de variaciones de f es dada por:
| x | -∞ | -3 1 | +∞ |
| f(x) | 33 +∞
-∞ 1 | ||
Señalemos que f(-3)=33 y f(1)=1
Calculemos los límites de la función:
= = +∞
= = -∞ (ya que un número negativo dominado por una potencia impar permanece negativo)
Según la tabla de variaciones de f, se confirma que posee un máximo en el punto A (-3;33) y un mínimo en el punto B (1;1).
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Dibujar la función sobre su intervalo de definición
Para dibujar un gráfico que represente a esta función, solo hay que colocar su mínimo y su máximo sobre el punto de referencia y hacer una pequeña tabla que nos ayude a colocar algunos puntos concretos:
| x | f (x) |
| -5 | 1 |
| -2 | 28 |
| -1 | 17 |
| 0 | 6 |
| 5 | 161 |
Aquí tienes la famosa curva:
A menudo, las mates y el arte están conectados, aunque calificar una curva matemática como arte es, cuanto menos, discutible...
Asegúrate de colocar correctamente los puntos de referencia sobre la curva.
La tabla de variaciones de una función sirve para detectar fácilmente las asíntotas. Se adquiere, generalmente, por el estudio del signo de la derivada.
En clase de mates, los alumnos también trabajan las tablas que no representan toda la función, sino solamente una parte; esto ocurre cuando la función se repite hasta el infinito. Este tipo de funciones se llaman periódicas.
Si deseas profundizar éste tema, consulte nuestro artículo sobre la lista de los problemas jamás resueltos en matemáticas.
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