¿Sabías que hoy las infancias ya no hacen la división como antes? Hasta la generación Milenial e inicios de la generación Z, la división tenía que ver con esa casita que atrapaba al dividendo, un método que muchos creían que jamás iba a cambiar. Sin embargo, aunque esa casita sigue presente en nuestras aulas, la división evolucionó. Ahora, dentro de este proceso, se arman muchas restas para resolver, que hacen que llegar al resultado sea más dinámico y accesible.
Quizás te preguntes cuál es la verdadera diferencia entre estos métodos de la ciencia matemática. La clave no está en la técnica u operación en sí, sino en la idea de que una operación matemática pueda pensarse y abordarse de diferentes maneras. Este cambio de perspectiva en el cálculo no solo enaltece nuestra comprensión de la matemática, sino que también nos invita a repensar nuevas formas de resolver problemas.
Hoy, queremos acercarte a estas nuevas formas de pensar y resolver la división. Desde la clásica división euclídea hasta el cálculo del Máximo Común Divisor (MCD), exploraremos técnicas fáciles e intuitivas que te permitan ver esta operación bajo una luz diferente. No se trata solo de aprender a dividir, sino de descubrir cómo cada método puede mejorar tu manera de entender y aplicar las matemáticas en tu día a día. ¿Listos?
División euclídea - números enteros
Incluimos en nuestro recorrido por las técnicas de división, a la división euclídea, porque es el piso sobre el cual nos apoyamos para entender muchos otros conceptos de las matemáticas. Este método no solo sirve para entender cómo se dividen los números enteros, sino que también es la base para algoritmos más avanzados, como el cálculo del Máximo Común Divisor (MCD).
La división euclídea, que seguro muchos no la conocían con ese nombre, no es nada más ni nada menos que la división común: una operación matemática que nos permite dividir un número entero en partes más pequeñas, obteniendo un cociente y un residuo. Este método se usa mucho en distintas áreas de la matemática y la informática.
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🟡 Definición y concepto:
La división euclídea de dos números enteros, aa (dividendo) y bb (divisor), se expresa como:
a=b⋅q+ra=b⋅q+r
donde:
- qq es el cociente,
- rr es el resto, con 0≤r<b0≤r<b.
Este proceso se llama "euclídea" en honor al matemático griego Euclides, ya que fue el quién describió este algoritmo en su obra "Elementos". Aunque no lo notemos, usamos la división euclídea también en muchas situaciones cotidianas, como al distribuir objetos equitativamente o al calcular el cambio en una operación de transacción.
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🟡 Algoritmo de la división euclídea:
En matemáticas y ciencias de la computación, un algoritmo es un conjunto de instrucciones o reglas bien definidas que permiten realizar una tarea o resolver un problema específico. Por lo que en este caso, los pasos a seguir son:
- Dividir el dividendo entre el divisor para obtener el cociente.
- Multiplicar el cociente por el divisor y restar este producto del dividendo para obtener el resto.
- El proceso se repite hasta que el resto sea menor que el divisor.
Podrás aprender todo esto y más en un curso de matematicas.
🟡 Ejemplos:
Ejemplo 1: Dividir 29 entre 4.
- Cociente (qq): 29÷4=729÷4=7
- Residuo/Resto (rr): 29−(4⋅7)=29−28=129−(4⋅7)=29−28=1
- Por lo tanto, 29=4⋅7+129=4⋅7+1.
Ejemplo 2: Dividir 50 entre 6.
- Cociente (qq): 50÷6=850÷6=8
- Residuo/ Resto (rr): 50−(6⋅8)=50−48=250−(6⋅8)=50−48=2
- Por lo tanto, 50=6⋅8+250=6⋅8+2.
¡Así, estarás totalmente preparado para enfrentarte a las clases particulares de matematica!
Estos ejemplos nos ayudan a ver cómo descomponer un número en múltiplos de otro número más un residuo, lo cual es la esencia de la división euclídea.
División por dos cifras
Siguiendo sobre la misma línea, ahora pasamos a un terreno un poquito más complejo: la división por dos cifras. Este tipo de división es una aplicación de la división euclídea, donde lo único que cambia o se agrega, es que el divisor es un número de dos cifras. Al dominar esta técnica, podemos entender como se descomponen los números en partes más pequeñas.
Para los que recién están empezando, o para los que están enseñando a otros a modo de clases particulares de matematica, les dejamos algunos consejos para enfrentar la división por dos cifras:
- 1️⃣ Descomponer el problema:
- Antes de empezar, podrías descomponer el dividendo en partes que puedas manejar. Esto te permite abordar la división paso a paso, reduciendo la posibilidad de errores.
- Ejemplo: Si estás dividiendo 345 entre 23, primero dividí 34 entre 23, luego baja el siguiente dígito (5) y continúa.
- 2️⃣ Tantear el cociente:
- Realizá una estimación rápida del cociente antes de empezar la división. Esto te va a dar una idea aproximada de cuántas veces el divisor entra en el dividendo, facilitando el proceso.
- Ejemplo: Al dividir 345 entre 23, puedes estimar que 23 cabe aproximadamente 15 veces en 345.
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- 3️⃣ Usar la restas sucesivas:
- Si te resulta difícil dividir desde el inicio, podés usar las restas sucesivas que veniamos mencionando, para encontrar el cociente. Restá el divisor del dividendo tantas veces como sea posible hasta que el resto/residuo sea más chico que el divisor.
- Ejemplo: Restá 23 de 345 repetidamente: 345 - 23 = 322, 322 - 23 = 299, y así sucesivamente, hasta que el resto/residuo sea más chico que 23.
- 4️⃣ Chequeá con la multiplicación:
- Una vez que hayas alcanzado el cociente y el resto/residuo, verificá tu respuesta multiplicando el cociente por el divisor y sumando el resto/residuo. Esto debería darte el dividendo original.
- Ejemplo: Si conseguiste un cociente de 15 y un resto/residuo de 0 al dividir 345 entre 23, verifica: 23×15=34523×15=345.
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- 5️⃣ Practicar con ejemplos:
- Muchos saben que la práctica, como en todo, es clave para dominar la división por dos cifras. Intentá resolver problemas con diferentes combinaciones de dividendos y divisores para familiarizarte con diversas situaciones.
- Ejemplo: Probá dividir 480 entre 32, 567 entre 45, etc.
- 6️⃣ Mantener la calma:
- No te apures. Tomate tu tiempo para realizar cada paso con precisión. La división por dos cifras puede parecer complicada al principio, pero con paciencia y práctica, se vuelve más sencilla.
- Ejemplo: Si te equivocas, revisá cada paso con calma y corregí los errores.
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No se olviden que cada paso que se da en el aprendizaje de estas técnicas, obtenemos una comprensión muchos más profunda y completa de las matemáticas.
Máximo común divisor (MCD)
Después de haber explorarado la división euclídea y la división por dos cifras, ahora nos toca tratar un concepto que se relaciona directamente con estas técnicas/reglas: el Máximo Común Divisor (MCD). El MCD es la operación matemática que nos permite encontrar el mayor número que divide exactamente a dos o más números enteros. Este concepto no solo se basa en la división euclídea, sino que también la utiliza como método para su cálculo.
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El Máximo Común Divisor de dos números enteros es el mayor número entero que divide a ambos sin dejar resto. Por ejemplo, el MCD de 48 y 18 es 6, porque 6 es el mayor número que divide exactamente a ambos.
🟡 ¿Cómo encontrar el MCD?
- Descomposición en factores primos:
- Consiste en descomponer cada número en sus factores primos y después identificar los factores comunes. El MCD va a ser el producto de los factores comunes elevados a la menor potencia que aparezca en ambas descomposiciones.
- Algoritmo de Euclides:
- Este es el método más eficiente y se basa en la división euclídea. Consiste en dividir el mayor de los dos números entre el menor, y después reemplazar el mayor por el residuo de esta división, repitiendo el proceso hasta que el residuo sea cero. El último divisor no nulo será el MCD.
- Ejemplo: Para encontrar el MCD de 48 y 18:
- 48 ÷ 18 = 2 con residuo 12.
- 18 ÷ 12 = 1 con residuo 6.
- 12 ÷ 6 = 2 con residuo 0.
- El MCD es 6.
🟢 ¿Dónde se aplica?
- Simplificación de fracciones: El MCD se utiliza para simplificar fracciones, haciendo que el numerador y el denominador sean coprimos (es decir, que su MCD sea 1). Este método nos permite resolver fracciones de manera más sencilla, siguiendo reglas claras para calcular el MCD y obtenemos fracciones equivalentes más simples.
- Criptografía: En la generación de claves criptográficas, el MCD es clave para asegurar que los números sean coprimos, para la seguridad de los algoritmos. Aquí, el cálculo del MCD es una operación crucial que garantiza la robustez de los sistemas de encriptación.
- Teoría de números: El MCD es necesario en la teoría de números para estudiar las propiedades de los números enteros y sus relaciones. Este campo de la matemática utiliza el MCD para explorar y resolver problemas relacionados con la divisibilidad y las estructuras numéricas.
- Programación y algoritmos: En informática, el MCD se utiliza en algoritmos para optimizar cálculos y mejorar la eficiencia de los programas. La implementación del MCD como una operación dentro de un algoritmo permite resolver problemas de manera más eficiente, siguiendo reglas específicas para calcular el MCD de grandes conjuntos de datos.
Esta operación matemática implica dominar o aprender bien las tablas de multiplicar, pero también, simplente las reglas básicas de cálculo: sumar, restar, descomponer en números enteros (números pares e impares), etc.
Cada método nos muestra una faceta diferente de cómo se pueden descomponer y relacionar los números enteros, también revelando la importancia del divisor común en estas operaciones. Así es como vemos que la división no es simplemente una operación aritmética, sino un proceso lógico que nos invita a pensar de manera crítica y creativa. El algoritmo de Euclides, por ejemplo, funciona como una herramienta clave en las matemáticas para encontrar el máximo común divisor. Por eso, al dominar estas técnicas de división, desarrollamos una mentalidad analítica que puede aplicarse en cuantas áreas de la vida que no imagines.
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Así que, la próxima vez que te enfrentes a una división, tené en cuenta que estás ejercitando mucho más que una simple operación: a través de ellas obtenemos fortalizacion de tu capacidad para descomponer y entender el mundo a tu alrededor.
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