«Todo número iluminado tiene su sombra dorada». - Nabil Alami

El número áureo, también llamado razón dorada, proporción áurea o proporción divina, es una proporción definida como el valor numérico de la proporción que guardan entre sí dos segmentos de recta a y b (a más largo que b). La longitud total, suma de los dos segmentos a y b, es al segmento mayor a, lo que este segmento a es al menor b: (a + b)/a = a/b.

También es designado por la letra griega φ (phi). Es un número irracional, única solución de la ecuación x2 = x + 1. Su valor es alrededor de 1,6180339887.

Una infinidad de alumnos van a clases particulares, muchos de ellos de matemáticas. Aunque se suele considerar una asignatura difícil, las matemáticas pueden ser divertidas y contener misterios fascinantes. Vamos a hablar de uno de ellos: el número áureo.

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La historia del número áureo

La historia del número áureo
La construcción de las pirámides implica el uso de la razón dorada.

Los orígenes del número áureo

La pirámide de Keops (2600 a.C.) es para muchos científicos el origen de la proporción áurea.

El número áureo es muy antiguo y se usó inicialmente en geometría, probablemente por los pitagóricos. Lo usaron para construir pentágonos usando triángulos isósceles. En ese momento, no se usa de manera aritmética ya que los pitagóricos piensan que cualquier número es racional. Sin embargo, el número áureo no lo es.

Pero en realidad el primer texto matemático que hace referencia al número áureo fue escrito por Euclides (300 a.C.), que lo define de la siguiente manera: «se dice que una recta ha sido cortada en extrema y media razón cuando la recta entera es al segmento mayor como el segmento mayor es al segmento menor».

No obstante, nos podemos remontar más atrás de este primer texto hallado para dar con el descubrimiento de la divina proporción. Platón está sin duda en el origen del estudio de la proporción áurea como objeto de investigación por derecho propio. En ese momento, este número no se llamaba número áureo.

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El número áureo en la Edad Media

El matemático, astrónoma y geográfo persa Al-Khawarizmi aporta una nueva perspectiva a la proporción dorada en el siglo VIII al proponer varios problemas que consisten en dividir una longitud de diez unidades en dos partes. La solución de uno de ellos es el tamaño inicial dividido por el número áureo.

Pero es Fibonacci quien habla de las ecuaciones del matemático persa en Europa, especialmente a través de su famosa sucesión de Fibonacci, sin mostrar un vínculo con la proporción áurea.

La irracionalidad del número áureo la demuestra Campanus de Novara, matemático, astrónomo, astrólogo y médico italiano, a través del descenso infinito que se puede ver en la espiral dorada.

El número áureo durante el Renacimiento

En el Renacimiento, al número áureo se le llama divina proporción y se le atribuye una intervención divina según el libro del matemático y franciscano italiano Luca Pacioli, ilustrado por el famoso Leonardo da Vinci.

Fue también en esta época cuando la sucesión de Fibonacci se relaciona con el número áureo. Al dividir un término de la sucesión por su término anterior, el resultado se acerca al número áureo. La aproximación es mayor cuando el término es alto.

Esta relación se descubrió mediante una nota anónima y el resultado lo encuentra realmente el astrónomo y matemático alemán Johannes Kepler, quien quedará fascinado por el número áureo durante toda su vida.

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El nacimiento de un mito en el siglo XIX

Durante este siglo, el número pierde su interés matemático, pero gana cada vez más interés como sistema.

El filósofo alemán Adolf Zeising cree que la proporción áurea puede permitir comprender tanto el ámbito científico como el artístico. A pesar de un dudoso enfoque científico, las teorías de Zeising gustan, sobre todo en Francia. Gracias al número áureo, sería posible explicar la belleza.

Incluso a lo largo del siglo XX, el número áureo sigue fascinando a matemáticos, artistas y arquitectos.

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El número áureo en geometría

El número áureo en geometría
Podemos dibujar una proporción de extrema y media razón.

La primera definición de la proporción áurea es geométrica. El teorema es el siguiente: «Dos longitudes a y b (estrictamente positivas) respetan la proporción áurea si la relación de a sobre b es igual a la relación de a + b sobre a».

A la luz de los trabajos de Euclides, surge una nueva definición de proporción áurea:

«El número áureo es el número real positivo, denotado por φ, igual a la fracción a/b si a y b son dos números en proporción de extrema y media razón».

Esta es la fórmula correspondiente: φ = (1 + √5) / 2.

φ es la solución de una ecuación de segundo grado, que da una tercera definición: «El número áureo es la única solución de la ecuación x2 – x – 1 = 0».

Gracias a estos cálculos, es posible dibujar una proporción de extrema y media razón usando un compás, una regla y una escuadra:

  • Dibuja un círculo C de radio 1,
  • Al final del radio 1, dibuja un segmento de longitud 1/2, perpendicular al radio,
  • Dibuja el círculo C’ de radio 1/2 colocando la punta del compás al final del segmento de longitud 1/2 previamente dibujado,
  • Dibuja el segmento desde el centro del círculo C hasta el final del círculo C’, pasando por el centro del círculo C’,
  • La longitud de este segmento tiene el valor del número áureo.

A partir de estos círculos, puedes construir un rectángulo áureo.

También podemos integrar un cuadrado de lado a – b en el rectángulo áureo de lados b × (a – b). Al añadir un cuarto de círculo en cada cuadrado, obtenemos una espiral, llamada espiral dorada.

La proporción áurea también se puede utilizar para la construcción de pentágonos y pentagramas y también en trigonometría.

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El número áureo en aritmética

El número áureo en aritmética
Cuando logras demostrar el vínculo entre la sucesión de Fibonacci y el número áureo.

El otro método para definir el número áureo es algebraico. En álgebra, el número áureo se define como la única raíz positiva de una ecuación.

Usando ambos enfoques, algebraico y geométrico, es posible resolver una ecuación de segundo grado. Esto se llama álgebra geométrica. φ 2 = 1 + φ tiene por solución el número áureo.

La proporción dorada también se puede alcanzar usando la fracción continua en el infinito: 1 + (1/(1 + (1/1))).

La sucesión de Fibonacci también proporciona aproximaciones de la proporción áurea:

Y a la inversa, la fórmula de Binet expresa la sucesión de Fibonacci en función de la proporción dorada.

El número áureo también se utiliza en algunas ecuaciones diofánticas.

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La omnipresencia del número áureo

Como puedes ver, el número áureo está omnipresente en las matemáticas, pero también en aquello que nos rodea. En la naturaleza, la proporción dorada está presente a través de varios elementos:

  • Las escamas de una piña de pino generan espirales logarítmicas que pueden producir la sucesión de Fibonacci;
  • Los estambres de un girasol responden al mismo fenómeno;
  • Los cristales de cuarzo se forman en un patrón pentagonal, en el que interviene el número áureo;
  • La corteza de una piña induce una espiral ordenada asociada con la proporción áurea.

Pero la filotaxis del girasol y la cristalografía de cuarzo no siempre siguen las reglas de la proporción áurea, por lo que es difícil ver un fenómeno místico o divino. Tal vez sea solo una coincidencia...

La omnipresencia del número áureo
También en fotografía, el número dorado permitiría tomar una imagen perfecta.

La cuestión de si el cuerpo humano está vinculado o no a la proporción áurea se ha planteado repetidamente, ya sea de naturaleza científica, artística o estética.

Zeising intentó medir el cuerpo humano utilizando solo el número áureo, pero lo descartó rápidamente. Las proporciones del cuerpo humano así dibujadas no eran realistas. Además, las dimensiones del cuerpo humano cambian constantemente. Los seres humanos crecen a medida que evolucionan y no necesariamente de manera uniforme.

Sin embargo, la búsqueda de la proporción dorada en el cuerpo humano no se ha abandonado. Hoy en día, los científicos se centran en el cerebro para descubrir un vínculo con la proporción áurea, pero esta teoría sigue siendo controvertida.

La proporción dorada no solo fascina a los científicos, sino que está presente en muchos ámbitos como la pintura, especialmente la época del Renacimiento. Recuerda que en ese momento al número áureo se le llamaba divina proporción. Lo encontramos en el cuadro de El nacimiento de Venus de Botticelli.

Pero hay veces en las que son interpretaciones tardías y no hay voluntad por parte del artista como lo sugiere el cuadro de San Jerónimo de Leonardo da Vinci en el que encontramos el rectángulo áureo.

El uso de la proporción áurea en muchos edificios antiguos es un tema de controversia. Es difícil saber si los constructores eran conscientes del uso de la proporción áurea o si es una sobreinterpretación de los arqueólogos.

Hay varios ejemplos:

  • El teatro de Epidauro (Grecia, siglo IV a. C.),
  • La gran pirámide de Guiza (Egipto, siglo XXVI a. C.),
  • La fachada del Partenón según las convenciones (Grecia, 447-432 a. C),
  • El gran altar de Pérgamo (actual Turquía, 188 a. C., conservado en Alemania),

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Por otro lado, más recientemente, en el siglo XX, el arquitecto suizo Le Corbusier (Charles-Édouard Jeanneret-Gris) teoriza sobre el uso de la proporción áurea y crea un sistema de medidas detallado llamado Le Modulor, que sigue la estela de otros pensadores como Da Vinci en la búsqueda de la relación matemática entre las medidas del ser humano y la naturaleza. Le Corbusier utiliza el Modulor en muchas de sus construcciones, como en la «ciudad radiante» de Marsella o la capilla de Notre-Dame-du-Haut de Ronchamp.

Este fenómeno no solo afecta a lo visual, si no que se puede aplicar también a lo auditivo. De este modo, en la música se busca el número áureo en la armonía y el ritmo. La aproximación más cercana al número áureo es la sexta menor obtenida por dos sonidos cuya frecuencia define una relación de 8/5 = 1,6.

Y podríamos continuar la lista, ya que la presencia del número áureo fascina enormemente y es el tema de teorías científicas y verificadas, algunas en mayor medida que en otras. Algunos lo han denominado «el número de Dios», ya que parece que está en todas partes.

¿Conocías la proporción áurea? Descubre también la historia de los números primos.

La sucesión Fibonacci

Parece que la sucesión Fibonacci tiene mucho que ver con la proporción áurea. ¿Te has quedado fascinado con todo lo que te hemos contado sobre la razón áurea? Una vez descubierto lo vas a ver en todos lados.

Fibonacci es el apodo del matemático italiano Leonardo de Pisa (1770-1240). Este estudioso ayudó a difundir el sistema de numeración indo-arábiga por Europa; hasta el momento lo que se utilizaba era la numeración romana. Así mismo, fue el primero en describir la sucesión numérica que lleva su nombre.

La sucesión de Fibonacci
Estatua de Fibonacci en Pisa, Italia.

La sucesión Fibonacci es una serie infinita de números naturales. La sucesión comienza con el número 0 y sigue con el número 1. ¿Cómo continúa la serie? No, no viene el 2 después. Cada número que continua la serie es la suma de los dos anteriores. Hemos empezado con 0 y 1 y al sumarlos, el resultado es 0 + 1 = 1. Por lo tanto, la sucesión es: 0, 1, 1. ¿Cuál es el siguiente número? Pues cogemos los dos últimos y los sumamos: 1 + 1 = 2. Entonces: 0, 1, 1, 2. Y así sucesivamente. Así, los primeros números de esta sucesión son:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 114, 233, 377, 610, 987, 1597, 2554, 4151...

Capisci?

La lista es infinita.

Así, a cada uno de los números que forman esta sucesión se les denomina números de Fibonacci.

Esta serie se aplica en distintos campos del conocimiento como las ciencias de la computación, las matemáticas o la teoría de juegos. No obstante, lo realmente impresionante es como la podemos encontrar en la naturaleza. En este punto nos recuerda a la razón dorada, ya que se desliga de lo estrictamente matemático y la encontramos en los elementos que nos rodean. ¿Quién podría pensar que la disposición de las hojas de las alcachofas sigue una sucesión lógica que corresponde con la sucesión de Fibonacci? Lo mismo sucede con partes de los girasoles, el brócoli o las piñas.

Encontramos no obstante registros de esta sucesión mucho más atrás en la historia. Parte del mérito también se le atribuye a pensadores como el matemático indio Pingala (que se cree que vivió durante el siglo III a. C.), el prosodista y matemático indio Virahanka (siglo VI o VII) y Jema Chandra, polímata y poeta indio.

La sucesión descrita como tal y dada conocer por Leonardo de Pisa fue elaborada como una solución a un problema sobre los hábitos de apareamiento de los conejos. Sí, sí, se dice que Fibonacci dio con esta sucesión contando conejos. Los pensadores y ganaderos del momento no acertaban con la lógica que había detrás de la reproducción de los conejos. Partiendo de la base de que tienes inicialmente una pareja, ¿cómo saber cuántas parejas tendré en x meses sabiendo que cada mes se puede cruzar una pareja y obtener otra pareja? Hay que tener en cuenta que el conejo tarda un mes en llegar a la edad madura para poder reproducirse.  A continuación podrás consultar como se configura mes a mesa el nacimiento de nuevas parejas y cómo saber el número de parejas que tendrás.

La sucesión de Fibonacci y la reproducción de los conejos.
La naturaleza es increíble.

Al empezar el mes 1 nace la primera pareja de conejos (pareja A) la cual nos vamos a llevar para que tengan más conejos. Por lo que al inicio del mes 1 tenemos 1 pareja. Al final de este primero mes, la pareja alcanza su madurez reproductiva por lo que esta se cruza y tarda otro mes en dar a luz a nuevos conejitos. Pasa este segundo mes y al final la pareja A da a luz a la pareja B y se vuelve a cruzar a la pareja A. Ahora tenemos (1+1) 2 parejas en total. Al final del mes 3 la pareja A da a luz a la pareja C y la pareja B cumple 1 mes. Se cruzan las parejas A y B (tenemos 2+1 = 3 parejas en total). Al acabar el mes 4, las parejas A y B dan a luz a D y E. La pareja C cumple 1 mes. Se cruzan las parejas A, B y C. Ahora tenemos 3+2=5 parejas en total. Cuando finaliza el mes 5, las parejas A, B y C dan a luz a F, G y H. D y E cumplen un mes. Se cruzan A, B, C, D y E. Tenemos un total de 5+3=8 parejas. Luego, se termina el mes 6 y las parejas A, B, C, D y E dan a luz a I, J, K, L y M. F, G y H cumplen un mes. Se cruzan A, B, C, D, E, F, G y H. Tenemos por lo tanto 8+5=13 parejas en total. Y así sucesivamente... No vamos a negar que puede ser un poco lioso al leerlo así de corrido, pero con lápiz y papel o a través de imágenes lo verás claro.

Como hemos mencionado, esta sucesión no se aplica sólo a la reproducción de los conejos, si no que parece repetirse en la naturaleza. ¿Se podría decir que los números de Fibonacci son los números favoritos de la naturaleza?

Atención: si divides cualquier número de Fibonacci por el anterior, por ejemplo, 55:34 (= 1,617), 21:13 (= 1,615), 5:3 (= 1,66), 610:377 (= 1,62) la respuesta siempre es cercana a 1,61. ¿No te parece increíble? De ahí que la secuencia de Fibonacci también sea conocida como la secuencia dorada.

Así mismo, este número que siempre sale haciendo las divisiones, que sería exactamente el 1,61803, se ha ganado el nombre de número áureo o número de oro. Como ya hemos comentado, este número mágico se simboliza en matemáticas con la vigésimo primera letra del alfabeto griego, phi, φ (en mayúsculas Φ).

Si cogemos esta cifra, el número phi, y la aplicamos a las proporciones de un rectángulo, obtendremos el rectángulo dorado. Se considera que este rectángulo es una de las formas geométricas más satisfactorias visualmente. Como no, a raíz de este rectángulo dorado se obtiene otro elemento en oro. De oros va la cosa. Es la llamada espiral dorada, que se crea al hacer cuadrados adyacentes de dimensiones de Fibonacci. La perfección dentro de la perfección.

La espiral dorada o espiral de oro.
¿Existe la perfección?

Así que llámalo número de oro, razón extrema y media, razón áurea, razón dorada, media áurea, proporción áurea o divina proporción, que este fenómeno te deslumbrará.

¿Todo lo que te hemos contado no te ha impresionado? Espera que hay más. En tu propio cuerpo encontrarás estos números de oro. Como hemos mencionado, por algo se denomina número de Dios, y es que está en todas partes. Veamos algunos ejemplos:

-La distancia del ombligo hasta los pies y de la parte superior de la cabeza al ombligo es igual a la proporción de oro.

-Una molécula de ADN mide 34 angstroms x 21 angstroms en cada ciclo completo de la espiral de doble hélice. En la sucesión de Fibonacci el 34 y el 21 son números sucesivos.

-En los dedos, cada sección desde la punta de la base hasta la muñeca es más grande que la anterior en aproximadamente la proporción del número phi.

En la naturaleza encontramos proporciones áureas
Imagen de ADN en 3D.

Esto son hechos, pero también hay muchas conjeturas. Se mantiene que el cerebro humano prefiere los objetos y las imágenes que contienen la proporción de oro. ¿Qué opinas?

Se afirma así mismo que nos sentimos más atraídos por caras que presentan proporciones áureas entre el ancho de la cara y el ancho de los ojos, la nariz y las cejas. ¿Te has parado a pensar por qué hay facciones más «atractivas» que otras? ¿Coincide esto con lo que acabamos de describir?

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Alejandra

Creadora de contenidos fanática de los animales, el chocolate y las miniaturas. Siempre tengo el meme perfecto para el momento justo :)