«No te preocupes si tienes dificultades en matemáticas, ¡puedo asegurarte que las mías son mucho mayores!» - Albert Einstein (1879-1955)

Aprender matemáticas (álgebra, geometría, trigonometría, probabilidad y logaritmos, función exponencial y límites de función, etc.) suele ser una pesadilla para algunos alumnos.

Pero si eres un apasionado de las matemáticas o quieres saber más sobre este concepto matemático, aquí tienes una reflexión sobre el número e en Matemáticas, que suele ser una noción un poco abstracta para algunos alumnos...

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El número e: un capítulo del álgebra

Antes que nada, debes saber que el número e forma parte del álgebra en matemáticas. Pero, ¿qué es el álgebra?

que es el numero e
¿Por qué es útil comprender cómo funciona el número e?

Según define Wikipedia:

«El álgebra​ es la rama de la matemática que estudia la combinación de elementos de estructuras abstractas acorde a ciertas reglas. Originalmente esos elementos podían ser interpretados como números o cantidades, por lo que el álgebra en cierto modo originalmente fue una generalización y extensión de la aritmética».

El álgebra es, por tanto, una rama como cualquier otra de las matemáticas. Otras ramas son la geometría, la trigonometría, la aritmética, la lógica, etc.

En el campo del álgebra en sí, existen a su vez varias categorías entre las que encontramos el álgebra computacional, el álgebra no conmutativa, la estructura algebraica, la geometría algebraica, etc.

Por lo tanto, el número de capítulos matemáticos que hay que estudiar es bastante grande y, por supuesto, los alumnos no se aprenden todo el conocimiento matemático en solo unos pocos años. Sin embargo, el número e forma parte del aprendizaje de los estudiantes ya que es la base de la fórmula exponencial, es decir, las funciones. Por tanto, es importante comprender esta parte del álgebra.

El número e, por tanto, te da la oportunidad de comprender los términos de números racionales e irracionales. De hecho, cada número tiene un nombre particular según sus características. Pueden ser números enteros, decimales, números reales o incluso números complejos.

Conociendo el número e también tendrás la oportunidad de comprender cómo funcionan las fracciones y cómo usarlas.

Vamos a ver más concretamente qué es el número e.

¿Qué es el número e en Matemáticas?

El número e es un número irracional, es decir, un número que no o puede expresarse como el cociente exacto de dos números enteros, cuyo número de decimales que contiene es infinito y, por tanto, estos decimales se siguen sin una secuencia lógica.

Definición del número e
El número e: ¡una noción difícil de las Matemáticas!

Por lo tanto, se opone a un número racional cuyo desarrollo decimal es periódico, un cociente de dos números enteros cuya escritura decimal puede ser infinita, pero que en este caso es periódica.

Te lo explicamos:

La proporción 2/7 = 0,285714285714285714...

Los dígitos que hay después de la coma son una secuencia lógica y recurrente de decimales.

Los números irracionales más comunes son:

  • El número π (3,14159265358979323846264338327950288419716939937510582...), objeto de investigación de eruditos desde la antigüedad;
  • El número e = 2,71828182845904523536028747135266249775724709369995957... En la actualidad, cuenta con más de 5 mil millones de decimales (encontrados el 29 de agosto de 2016 por Ron Watkins).

El número e hizo su aparición en el siglo XVII con el desarrollo de los logaritmos, gracias al trabajo de investigación del matemático escocés John Napier (1550-1617). En su libro de referencia que data de 1614, Napier presenta una herramienta para simplificar los cálculos matemáticos: el logaritmo.

En el siglo XVII, no existían las calculadoras ni los ordenadores, pero eso no significa que no hubiera investigaciones matemáticas. En el siglo III a.C., Arquímedes ya se dio cuenta de que bastaba con sumar los números para multiplicar ciertos números, gracias a las potencias (el exponente).

El método de Napier fue ampliar el trabajo de Arquímedes desarrollando un método para hacer sumas en lugar de multiplicaciones, restas en lugar de divisiones y divisiones por 2 en lugar de extracciones de raíces cuadradas. Así, nacieron las primeras tablas de logaritmos decimales con 8 decimales.

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Por ejemplo, si 10 3 = 10 x 10 x 10 = 1000; entonces log(1000) = 3 y si 10x = y, entonces log(y) = x.

El número e permite saber para qué valor el logaritmo neperiano es igual a 1.

si ln (x) = y, entonces x = exp(y) y exp (1) = e.

¿Te interesa conocer también el número 0?

La historia del número e en Matemáticas

A finales del siglo XVII, el número e se definió como la base del logaritmo neperiano, que luego caracterizamos por la relación ln(e) = 1, la imagen de 1 por la función exponencial.

Historia del número e
¿Cómo calcular el interés compuesto?

El matemático Jacques Bernoulli (1654-1705) se interesó por encontrar el valor máximo de los intereses de los préstamos utilizando la técnica de interés compuesto: añadiendo con la mayor frecuencia posible, el interés acumulado a la cantidad original depositada, uno maximiza su ganancia.

Con 1 € prestado a una tasa de interés del 100 %, si el interés del capital se calcula anualmente, la deuda es de 2 € al final del año. Pero, si calculamos mensualmente, obtenemos 2,61 € al final del año, y 2,71 € si el interés se calcula diariamente.

Bernoulli se dio cuenta de que el interés compuesto se estanca a medida que uno aumenta la frecuencia de cálculo del interés. Así, calculado cada segundo, el interés es el mismo que el diario (2,71 €). Con esta demostración, J. Bernoulli descubrió el número e.

Fue el matemático suizo Leonhard Euler (1707-1783) quien, un poco más tarde, se interesó por el número e, tomando su nombre de la letra inicial de la palabra «exponencial».

Euler demostró en 1737 la irracionalidad del número e sobre la base del desarrollo continuo de fracciones y determinó el desarrollo de e en serie mediante la factorización, sabiendo que 4! = 1 x 2 x 3 x 4 -, como: e = 1 + 1/1! + 1/2! +... + 1 / k!

Cuanto más aumentas el valor de k, más se acerca el valor obtenido a e.

Echa un ojo también a nuestro artículo sobre el número i.

¿Cuáles son los campos de uso actuales del número e?

El primer uso del número e, si bien no había sido realmente teorizado, fue el de la búsqueda de la ganancia máxima al aumentar la frecuencia de cálculo de las tasas de interés de un préstamo: el método de interés compuesto en progresión continua, por J. Bernoulli.

Usos del número e
¿Podemos, con la función exponencial, estimar el crecimiento de la población mundial en el futuro?

Desde la obra de L. Euler, el número de decimales conocidos ha aumentado constantemente, de forma exponencial. Aumentó de 18 decimales conocidos en 1748 a 2010 decimales en 1949, luego a 116 000 en 1978, a 10 millones en 1994, a 1,25 mil millones en 1999, hasta alcanzar los 5 mil millones de decimales en 2016.

¿Por qué? ¿Gracias a qué? Evidentemente, es el poder de la informática lo que permite estos records, que un cerebro humano no puede igualar.

Vale, genial, pero ¿para qué sirve?

Uno tiene a menudo la impresión, al estudiar para los exámenes, que muchos ejercicios de Matemáticas son inútiles o al menos no los utilizará en la vida cotidiana: conocer la raíz cuadrada de cada número, las ecuaciones diferenciales, la factorización y la derivación, la función exponencial, el logaritmo, los números complejos, etc.

Pues es difícil encontrar los campos de aplicación del número e. En pocas palabras, usamos el número e siempre que queremos estimar una magnitud exponencial:

  • En economía: por el fenómeno del crecimiento exponencial, por el cálculo del interés pagado de forma continua,
  • En biología: para medir la multiplicación de células vivas en un organismo,
  • En física,
  • En informática.

Pequeño problema sorpresa de matemáticas: ¿cómo estimar la evolución de la población mundial después de 100 años si aplicamos un crecimiento del 10 % por año, para una población inicial de 1000 individuos?

Haremos la siguiente operación:

  • Primer año (1000 x 1,1) = 1100,
  • Segundo año (1100 x 1,1²) = 1210,
  • Quinto año (1,000 x 1,1 elevado a 5) = 1610,
  • Después de 100 años: (1,000 x 1,1 elevado a 100) = 13.780.612.

Según nuestro ejemplo, la población, con un crecimiento poblacional del 10 % por año, ¡se ha multiplicado por 13 780!

Con una población global de 7,55 mil millones en 2019 y un crecimiento de la población del 1,2 por ciento por año, ¡seríamos 24,88 mil millones de personas en la Tierra en 100 años!

Afortunadamente, la transición demográfica mitiga este cálculo exponencial.

Por cierto, ¿ya lo sabes todo sobre el número Pi?

Fórmulas que usan el número e

valor del numero e
¿Listo para calcular fórmulas con el número e? Fueron descubiertas por grandes eruditos de la ciencia.

El número e en matemáticas ahora forma parte de varias fórmulas exponenciales como:

  • ln e = 1
  • ln ex = x
  • ex × ey = ex + y.

Pero entre todas las fórmulas que existen, la más conocida sigue siendo la fórmula de Euler, que el científico suizo descubrió con la ayuda del matemático francés Abraham De Moivre. Esta fórmula es la siguiente:

eiπ = −1

Como ves, esta fórmula integra no solo el número Pi y el número e, sino también el número imaginario i. Estos tres números forman parte de los números más conocidos.

Leonhard Euler, por su parte, descubrió otra fórmula que, esta vez, no dependía únicamente del álgebra. De hecho, la fórmula conecta el álgebra del número e con la trigonometría. Así, encontró la siguiente fórmula:

eix = cos x + i sen x

Recursos para aprender el número e

El cálculo logarítmico, ya sea un logaritmo neperiano y la función exponencial, los límites de una función o la derivada, a menudo usa el número e, que puede ser difícil de entender para un alumno de secundaria.

Cómo aprender el número e
«¿Entiendes algo de lo que dice el profesor de matemáticas aplicadas?»

Si crees que las clases particulares de matemáticas a domicilio son demasiado caras para un alumno con dificultades, puedes leer lecciones y hacer ejercicios en línea para aprender matemáticas de forma gratuita. Aquí tienes algunas maneras de conseguirlo.

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Vitutor

Si quieres hacer ejercicios para practicar, la web vitutor.net es una plataforma de teleformación diseñada para el aprendizaje en línea de distintas materias, sobre todo matemáticas. Hay una gran variedad de ejercicios interactivos, apoyado por un equipo docente con formación multidisciplinar.

Los contenidos relativos a Matemáticas están estructurados por cursos del sistema educativo español (Educación Secundaria Obligatoria y Bachillerato), o bien, por las distintas ramas de las Matemáticas, que puedes consultar en español o inglés.

Los contenidos de los temarios son aproximados, pueden variar según las distintas comunidades autónomas españolas.

¿Conoces el número áureo?

PUEMAC

Échale un vistazo a esta página. El Proyecto Universitario de Enseñanza de las Matemáticas Asistida por Computadora (PUEMAC) surge de la inquietud de mostrar las matemáticas de una manera amable y atractiva a un público amplio y con intereses variados.

Surge de la convicción de que, al presentar las matemáticas de esta manera, los estudiantes y el público verán nacer curiosidades e intereses que podrán canalizarse después hacia las rutas de la enseñanza formal y la investigación.

Surge ante la escasez de materiales adecuados en los medios electrónicos que exploten las magníficas posibilidades que ofrece el software público en la red global para la enseñanza y la divulgación.

Encontrarás ejercicios de todos los niveles, incluidos el universitario y el de postgrado.

Timonmate

Es un complemento y ayuda de Matemáticas y Física (ESO y Bachillerato). En esta página, encontrarás multitud de ejercicios resueltos de matemáticas y física, exámenes explicados, apuntes detallados y enlaces de interés para ampliar conocimientos.

Descubre también la historia de los números primos.

YouTube

La plataforma de videos más famosa presenta videos y tutoriales realizados por profesores de matemáticas para comprender mejor los conceptos más difíciles.

Solo tienes que escribir «número e», «logaritmo neperiano» o «función exponencial» para acceder a una cantidad pletórica de lecciones de matemáticas sobre estos temas.

Aquí tienes uno, por ejemplo, particularmente educativo y divertido:

Las nuevas tecnologías e Internet no son las únicas formas de encontrar ayuda para comprender cómo funcionan el número e y sus fórmulas.

Los libros de texto y los manuales de matemáticas en general también pueden serte útiles. Aunque no suelen ofrecer el mismo nivel de interactividad para los estudiantes, siguen siendo una fuente de inspiración para los profesores de matemáticas que continúan extrayendo sus ejercicios de ellos.

Por lo tanto, los alumnos deben acostumbrarse a resolver problemas estándar que puedan aparecer en clase o durante los exámenes en lugar de acostumbrarse a los juegos, que es cierto que son útiles, pero a veces muy diferentes de los que aparecen en el aula. Por eso consideramos que es recomendable mencionar algunos libros que pueden ser de ayuda para comprender mejor este tema.

Aquí tienes algunos libros de matemáticas y libros de texto que pueden ayudarte a comprender el número e y la fórmula exponencial:

  • e: historia de un número de Eli Maor.
  • Estudio del origen del número e y de sus aplicaciones en diversos campos de las Matemáticas por Kronecker (lo encontrarás en PDF en Internet).

También encontrarás muchos libros de texto en tu instituto o en la biblioteca.

Finalmente, la última forma de estudiar el número e y sus fórmulas son las clases particulares. Las clases particulares de matemáticas te darán la oportunidad de repasar lo que no hayas entendido en clase o de sacar mejores notas si ya lo has asimilado todo. El profesor orientador te acompañará y se tomará su tiempo para explicarte todas las complejidades de este número y su uso. También puede darte ejercicios adaptados a tu nivel para que progreses de forma eficaz.

¡Solo queda repasar!

Lee también nuestro artículo sobre los números perfectos.

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