«Si la gente no cree que las matemáticas son sencillas, es solo porque no se dan cuenta de lo complicada que es la vida». - John Von Neumann

Si formas parte de las personas que nunca han entendido las matemáticas, esta cita debe parecer complicada de admitir...

Las matemáticas han existido desde el principio de los tiempos. Si creemos en el descubrimiento del hueso de Ishango (hace más de 20 000 años) esta puede que sea la primera prueba del conocimiento de los primeros números primos y la multiplicación, pero el tema sigue siendo controvertido.

Si bien las matemáticas siguen siendo un misterio para muchos de nosotros, algunos las ven como una excelente manera de entender y analizar el mundo. En este artículo, descubrirás qué es un número perfecto y para qué sirve (alerta spoiler: ¡no te permitirá mejorar tu vida diaria!).

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¿Cuál es el uso de los números perfectos?

Usos de los números perfectos
«Es algún tipo de lenguaje élfico, no lo entiendo».

Un número perfecto es un número natural que es igual a la suma de sus divisores propios positivos.

La historia de los números perfectos

Los números perfectos están relacionados con la búsqueda de los números primos de Mersenne. De hecho, la proposición 36 del libro IX de Elementos de Euclides dice que si el número de Mersenne 2n - 1 es primo, entonces 2n-1 (2n - 1) es un número perfecto.

René Descartes confirmó en una carta a Mersenne que cualquier número perfecto par es euclidiano, pero no demostró su teoría. En cambio, el matemático suizo Leonhard Euler fue el primero en dar una demostración a la observación de Descartes. La combinación de los resultados de Euclides y Euler permitió obtener una caracterización completa de los números perfectos pares.

Los primeros cuatro números perfectos se conocen desde la antigüedad. Se encuentran en las obras de Nicómaco de Gerasa y Teón de Esmirna. El quinto número perfecto se menciona en un códice latino de 1456. Los números perfectos sexto y séptimo fueron encontrados por Cataldi en el siglo XVI y el octavo en 1772 por Euler.

Así, a principios de la década de los 50, conocíamos 12 números perfectos, pero después la búsqueda se aceleró a través de técnicas cada vez más sofisticadas y el uso de ordenadores en la década de los 90 gracias al GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search).

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Pero ¿para qué sirven los números perfectos?

Si los números primos son reconocidos como la base misma de la aritmética por muchos matemáticos, los números perfectos no tienen una utilidad particular, en el sentido de que no se utilizan para resolver una ecuación, una factorización y no entran en el campo de la criptografía.

Antiguamente, eran considerados superiores a todos los demás y algunos vieron un papel místico en ellos: «El seis es un número perfecto en sí mismo, no porque Dios creó todas las cosas en seis días, sino que Dios creó todas las cosas en seis días porque ese número es perfecto» - San Agustín en La ciudad de Dios (420 d.C.)

Son uno de los misterios de las matemáticas, y la búsqueda de nuevos números perfectos sigue fascinando a muchos matemáticos en la actualidad.

Las conjeturas en relación a los números perfectos son numerosas. Una conjetura es una regla que nunca ha sido probada. Aquí tienes tres:

  • Los números perfectos de Euclides son todos pares ya que uno de los factores es una potencia de 2. Pero nada prueba, por el momento, que no haya números perfectos impares;
  • Todos los números perfectos conocidos terminan en 6 o 28, pero de nuevo eso puede no ser siempre así;
  • Tampoco se ha demostrado que realmente haya infinitos números perfectos.

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La prueba de los teoremas de los números perfectos

Teoremas de los números perfectos
La llegada de los ordenadores facilitó la búsqueda de los números primos y perfectos.

El teorema de Fermat en 1640: es Mn = 2 n - 1; si Mn es primo, entonces n es primo.

Para establecer que cuando 2 n - 1 es primo, n es primo, hay que demostrar la afirmación si n es compuesto, entonces 2 n - 1 también es compuesto.

Es decir, n = ab, con a, b > 1, y la identidad xk - 1 = (x - 1) (x k-1 + x k-2 + · · · + x + 1) en la que x = 2a y k = b.

Entonces 2ab - 1 = (2a - 1) (2a (b-1) + 2a (b-2) + · · · +2a + 1), que muestra que 2n -1 = 2ab -1 es compuesto, ya que factoriza como dos factores, cada uno mayor que 1 (porque a > 1).

El teorema de Euclides: si Mn es primo, entonces 2n-1 Mn es un numero perfecto.

Admitimos la función σ(n) como la suma de todos los divisores del entero positivo n. Un numero perfecto k se caracteriza por σ(k) = 2k.

La función σ tiene la siguiente propiedad: si a y b son dos naturales primos entre ellos, entonces σ(ab) = σ(a)σ(b).

Por otra parte:

  • como Mn es primo, tenemos σ(Mn) = 1 + Mn = 1 + (2n- 1) = 2n;
  • σ (2n-1) = 1 + 2 + 22+ 23 + · · · + 2n-1 = 2n - 1 = Mn.

Entonces σ(2n-1 Mn) = σ (2n- 1)σ(Mn) = Mn 2n = 2 (2n-1 Mn).

Echa un ojo también a nuestro artículo sobre el número i.

¿Cuáles son los números perfectos?

Lista de todos los números perfectos
Uno que intenta encontrar un número perfecto.

Los números perfectos son raros.

Aunque todos los matemáticos están de acuerdo en que existe una infinidad de ellos (nunca se ha demostrado), hoy en día solo conocemos 50, sin siquiera estar seguros de que no haya números intermedios perfectos sin descubrir desde el 47.

El último número perfecto se descubrió en enero de 2018. El descubrimiento de un nuevo número primo muy grande implica el descubrimiento de un nuevo número perfecto y eso es lo que sucedió con el número 2⁷⁷²³²⁹¹⁷-1.

Hay solo tres números perfectos inferiores a 1000: 6, 28 y 496. Aparentemente, los números perfectos pares terminan en 6 u 8, aunque esto nunca se ha demostrado, pero no de forma alternativa sistemáticamente.

Los números perfectos pares de la fórmula 2n-1 (2n - 1) son números triangulares (e incluso hexagonales). Por otro lado, todos los números perfectos pares, excepto el primero, son la suma de 2(n-1)/2 primeros cubos impares. Por ejemplo:

  • 28 = 13+ 33,
  • 496 = 13+ 33 + 53 + 73,
  • 8128 = 13+ 33 + 53 + 73 + 93 + 113 + 133 + 153.

Por cierto, ¿ya lo sabes todo sobre el número Pi?

Los primeros ocho números perfectos

Los primeros ocho números perfectos son:

  • 6
  • 28
  • 496
  • 8128
  • 550.336
  • 589.869.056
  • 438.691.328
  • 2 305 843 008 139 952 128.

Para conocer los siguientes 40, puedes escribir en Google «lista números perfectos».

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Números impares perfectos

Por el momento, no se sabe si hay números perfectos impares. Todos los ejemplos son números pares, pero eso no significa que no haya un número perfecto impar.

Aunque las investigaciones avanzan, ninguna ha podido afirmar o refutar esta hipótesis. Carl Pomerance ha publicado un método heurístico que sugiere la inexistencia de un número perfecto impar.

Un número perfecto impar N debe cumplir las siguientes condiciones (fuente: Wikipedia):

  • N debe tener más de 300 dígitos si existe y ser mayor que 101500
  • N es de la fórmula
    donde:

    • q, p1,..., pkson números primos distintos (Euler),
    • q ≡ α ≡ 1 (módulo 4) (Euler)
    • El factor primo más pequeño de N es menor que (2k + 8)/3,
    • La relación e1≡ e2 ≡... ≡ ek ≡ 1 (módulo 3) no se cumple,
    • qα> 1062 o pj2ej > 1062 por al menos uno j,
    • N es menor que 24k+1
  • si ei≤ 2 para todo i:
    • el divisor primo más pequeño de N es al menos 739,
    • α ≡ 1 (módulo 12) o α ≡ 9 (módulo 12),
  • El divisor primo más grande de N debe ser mayor que 108.
  • El segundo divisor primo más grande de N debe ser mayor que 104y el tercero que 100.
  • N debe tener al menos 101 divisores primos y al menos 10 divisores primos distintos. Si 3 no es un divisor de N, entonces N tiene al menos 12 divisores primos distintos.

Si existen, ningún número perfecto impar es divisible por 105. Además, ningún número de Fermat puede ser perfecto.

¿Conoces el número áureo?

Números triperfectos, multiperfectos e hiperperfectos

Números multiperfectos e hiperperfectos
¡Los ejercicios de matemáticas ya son bastante complicados sin añadir los números triperfectos!

Sobre la base de los números perfectos, también hay números triperfectos, multiperfectos e hiperperfectos.

Tranquilo, seguro que tu profesor no te pregunta sobre ellos, pero si quieres saber más, aquí tienes algo de información.

Los números triperfectos

Un número triperfecto es siempre par. Si hay un impar, es mayor que 1050. La suma de los divisores de un número triperfecto, incluido él mismo, es igual a tres veces el número. Por ejemplo, 120 es un número triperfecto porque 23 * 3 * 5 = 120.

Solo conocemos 6 triperfectos:

  • 120
  • 672
  • 776
  • 818.240
  • 476.304.896
  • 001.180.160.

Los números multiperfectos

La suma de los divisores de un número multiperfecto, incluido él mismo, corresponde a k veces el número.

Los matemáticos han descubierto más de 500 números multiperfectos hasta el orden 8 y creen que conocen todos los multiperfectos de orden 3 a 7:

  • 25x 33 x 5 x 7 es el primer tetraperfecto,
  • 27x 34 x 5 x 7 x 11 x 17 x 19, el primer pentaperfecto,
  • El más grande conocido es 7,3 101345

Los números hiperperfectos

Un número hiperperfecto es tal que n = 1 + k (o(n) - n - 1).

Un número 1-hiperperfecto es un número perfecto.

  • Un número 2- hiperperfecto (HP) tiene la fórmula 2o(n) = 3n + 1:
    • 21, 2 133, 19 521, 176 661...
  • Un número 3-HP tiene la fórmula 3o(n) = 4n + 2:
    • 325 y ningún otro hasta n = 1 000 000
  • 4-HP: 1 950 625, 1 222 640 625, 186 264 514 898 681 640 625
  • No hay ningún 5-HP conocido
  • 6- HP: 301, 16 513, 60 110 701, 1 977 225 901, 2 733 834545 701, 232 630 479 398 401.

Saber los números perfectos, triperfectos, multiperfectos e hiperperfectos no te ayudará a hacer los ejercicios de tus clases de matemáticas en secundaria, así que mejor céntrate en las fracciones, la división euclidiana, los logaritmos o el razonamiento en geometría.

Pero si continúas con las matemáticas, quién sabe, tal vez los números perfectos se conviertan en un tema de investigación por tu parte...

Descubre también la historia de los números primos de la mano de un profesor online matematicas.

¿Hemos ido demasiado rápido? La verdad es que hemos cogido carrerilla y ya había más números que letras en este artículo. ¿Todavía no has avanzado tanto en la asignatura de mates? ¿Necesitas un repaso de las bases? ¡A nosotros tampoco nos sobra! Vamos empezar desde el principio de nuevo y definir qué es un número perfectos de forma sencilla.

¿Qué es un número perfecto?

Apellidar «perfecto» a este tipo de números no es fortuito. La palabra perfecto, que proviene del latín perfectus, la define la Real Academia Española como: «adjetivo que determina a aquel o aquello que tiene el mayor grado posible de excelencia en su línea, que posee el grado máximo de una determinada cualidad o defecto», es decir, se trata de un elemento o ser que reúne el más alto nivel posible de excelencia en relación con los demás elementos o seres de su misma naturaleza. Que es perfecto, vamos.

Los números perfectos son especiales
¿Qué es para ti la perfección?

¿Y que se considera perfecto en matemáticas? Estarás pensando que eso de ser perfecto es un poco subjetivo, depende con qué se compare. Efectivamente, si nos vamos a la definición estricta del término, así es. No obstante, en matemáticas se ha asociado a la palabra «perfecto» una serie de características. Por lo tanto, si un número las cumple es perfecto y si no, no (por muy perfecto que nos parezca).

¿Qué características tienen los números perfectos?

Un número perfecto es aquel que es igual a la suma de sus divisores exceptuando él mismo. Estos divisores se denominan factores o divisores propios.

Recuerda: los divisores de un número natural son otros números naturales que lo pueden dividir y el resultado del cociente es otro número natural y el resto es 0; es decir, la división es exacta.

Cada número tiene una cantidad determinada de divisores, por ejemplo:

El número 12 se puede dividir (entiéndase «se puede dividir» como que la división es exacta) entre:

12:1=12

12:2=6

12:3=4

12:4=3

12:6=2

12:12=1

Los divisores de 12 son 1, 2, 3, 4, 6 y 12.

¿Que más necesitábamos para saber si es un número perfecto? Que la suma de sus divisores (exceptuando él mismo) sea igual al número.

Por lo tanto, cogemos los divisores y los sumamos: 1+2+3+4+6=16

¿Es la suma igual al número? 16 ≠ 12 No, por lo tanto el número 12 no es un número perfecto.

Vamos a probar con otro número, el 6.

El número 6 se divide entre:

6:1=6

6:2=3

6:3=2

6:6=1

Los divisores de 6 son 1, 2, 3 y 6. Vamos a sumarlos (excepto el propio número): 1+2+3=6

¿Es 6 un número perfecto? 6=6 ¡Sí!

El primer número perfecto descubierto
El número seis es el primer número perfecto. ¿Cual será el siguiente?

El siguiente es el 28. Divisores: 1, 2, 4, 7, 14, 28. Suma de divisores: 1+2+4+7+14=28. ¡Eureka!

Le siguen el número 496 y después el 8128. Como ves, cada vez tenemos números más grandes por lo que la factorización es más compleja.

Ahora que ya está claro qué son los números perfectos, vamos a conocer un poco más sobre la historia de estos número especiales. Aunque al inicio del artículo ya te adelantamos un poquito sobre su descubrimiento, vamos ahora a describirlo de una forma más detallada.

Historia de los números perfectos

San Agustín, conocido también como Agustín de Hipona (354-430) fue un filósofo, escritor, matemático y sacerdote romano. Si ya has tenido la asignatura de filosofía, este nombre te sonará, ya que es uno de los filósofos que se suelen estudiar en esta materia. Como muchos otros intelectuales de la época, San Agustín fue de esas personas que desarrollan y profundizan conocimientos en diversas ramas, desde la filosofía hasta las matemáticas, que tienen mucho más que ver de lo que hoy en día podemos pensar.

Pues bien, Agustín de Hipona afirmó que los números perfectos tienen su razón de ser. En su obra La Ciudad de Dios explica que el 6 es perfecto porque Dios creó el mundo en seis días. El siguiente número, el 28, se corresponde con los días que la luna tarda en dar la vuelta alrededor de la tierra. Esta afirmación no está exenta de polémica, ¿casualidad o no?

A los siguientes dos números ya no se les ha otorgado una explicación. Son el 496 y el 8128. Estos cuatro primeros números ya habían sido descubiertos en el siglo I por Nicómaco de Gerasa, filósofo y matemático que vivió en una antigua ciudad de la Decápolis, que pertenecia al Imperio Romano y que hoy es Jordania.

Lista de filósofos y matemáticos
Librería clásica en Dublín. | Foto Alex Block en Unsplash

Para hallar el quinto número perfecto tendremos que dar un salto enorme en la historia hasta llegar al siglo XV, ya que fue en un manuscrito de este siglo donde apareció el 33 550 336, quinto número perfecto. El sexto y el séptimo, 8 589 869 056 y 137 438 691 328, fueron descubiertos un siglo después, en 1588, por Pietro Cataldi, matemático italiano.

Llevamos solo siete números y las cifras ya son enormes. El octavo ya pasa a otra dimensión: num_perfectos_01 (donde  es 2 147 483 647, el trigésimo primer número de Mersenne) y fue descubierto por Euler en 1750. Aquí ya nos hemos vuelto a perder.

¿Qué es el número de Mersenne? Un número de Mersenne es un número entero positivo, m, que es una unidad menos que una potencia entera positiva de 2. Esto sería:

Al igual que con los números perfectos, solo se conoce un número limitado de números de Mersenne. Estos números deben su nombre a Marin Mersenne, ya que fue quien expuso una seria de postulados sobre estos números. Mersenne fue un filósofo, matemático y sarcedote francés (1588-1648).

Gracias a las bases que había sentado Mersenne fue Euler quien continuó con el descubrimiento de estos números especiales. Leonhard Paul Euler (1707-1783) fue un matemático y físico suizo. Seguramente su nombre ya te suene puesto que el descubrimiento del octavo número perfecto no fue su único logro. Es también la persona que dio nombre al número de Euler (e), utilizado en numerosas fórmulas de física y de cálculo.

¿Cómo seguir calculando con números tan grandes? Con la llegada de las calculadoras y los avances tecnológicos, el avance fue posible. Así se calcularon los siguientes tres números perfectos, teniendo el último de ellos alrededor de 770 cifras.

Con la llegada de los ordenadores, como el supercomputador Cray-2, se pudo seguir avanzando en estas operaciones que requerían cálculos matemáticos altamente complejos.

En este nuevo siglo, la búsqueda de nuevos números especiales no ha cesado. George Woltman ha desarrollado un proyecto de computación distribuida que se compone de programas que analizan números de Mersenne. Este proyecto recibe el nombre de GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search). Gracias a este programa se han hallado más números perfectos dado que se obtienen a partir de números primos de Mersenne. El último y más elevado número primo de Mersenne descubierto es el ,  el 25 de enero de 2013. De ahí se obtuvo el número perfecto más grande descubierto a día de hoy: . Este número perfecto tiene nada más y nada menos que 34 850 340 cifras. No es tanto, ¿no? ¿Cuántas páginas necesitaríamos para escribirlo entero?

Por último, vamos a recapitular algunas de las curiosidades sobre los números perfectos que mencionábamos en otros apartados del artículo, a ver si así te entra el gusanillo de investigar más sobre estos números especiales:

Todos los números perfectos hallados son pares y terminan en 6 u 8. ¿Por qué? ¿No puede haber números perfectos impares? Parece que impar no es sinónimo de perfecto... Esto sigue siendo un misterio. Actualmente no se han encontrado números perfectos impares pero tampoco hay un argumento que demuestre que no existen; por lo tanto la posibilidad sigue existiendo.

Decirte que hoy en día conocemos un total de 48 números perfectos. No es un número muy elevado, ¡y mira por que cifras nos movemos ya! Se cree que existen infinitos números primos de Mersenne de los que obtendríamos infinitos números perfectos (¡pares!). Pero, el quid de la cuestión es que aún no se ha conseguido aclarar si existen infinitos números perfectos o no.

Números especiales en matemáticas
¿Son los números infinitos o finitos?

Tanta perfección al final termina abrumando. Y en efecto, el mundo de las matemáticas es precioso y abrumador a la vez. Es increíble todo lo que se ha descubierto pero más increíble aún es saber que esto es una mijilla en comparación con todo lo que queda por descubrir.

Ciencia, tecnología y ser humano en la búsqueda (¿infinita?) de nuevos enigmas y descubrimientos.

Esperamos que este artículo te haya resultado útil y haya despertado tu interés por este campo. Así mismo, recuerda que tenemos superprofes de matemáticas que estarán encantados de ayudarte con tus clases de mates y te encantarán porque son personas a las que les apasionan las matemáticas y esa pasión es contagiosa.

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