¿Por qué conocer los números perfectos?

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¿Cuál es el uso de los números perfectos?

Usos de los números perfectos — «Es algún tipo de lenguaje élfico, no lo entiendo».

Un número perfecto es un número natural que es igual a la suma de sus divisores propios positivos.

La historia de los números perfectos

Los números perfectos están relacionados con la búsqueda de los números primos de Mersenne. De hecho, la proposición 36 del libro IX de Elementos de Euclides dice que si el número de Mersenne 2n - 1 es primo, entonces 2n-1 (2n - 1) es un número perfecto.

René Descartes confirmó en una carta a Mersenne que cualquier número perfecto par es euclidiano, pero no demostró su teoría. En cambio, el matemático suizo Leonhard Euler fue el primero en dar una demostración a la observación de Descartes. La combinación de los resultados de Euclides y Euler permitió obtener una caracterización completa de los números perfectos pares.

Los primeros cuatro números perfectos se conocen desde la antigüedad. Se encuentran en las obras de Nicómaco de Gerasa y Teón de Esmirna. El quinto número perfecto se menciona en un códice latino de 1456. Los números perfectos sexto y séptimo fueron encontrados por Cataldi en el siglo XVI y el octavo en 1772 por Euler.

Así, a principios de la década de los 50, conocíamos 12 números perfectos, pero después la búsqueda se aceleró a través de técnicas cada vez más sofisticadas y el uso de ordenadores en la década de los 90 gracias al GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search).

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Pero ¿para qué sirven los números perfectos?

Si los números primos son reconocidos como la base misma de la aritmética por muchos matemáticos, los números perfectos no tienen una utilidad particular, en el sentido de que no se utilizan para resolver una ecuación, una factorización y no entran en el campo de la criptografía.

Antiguamente, eran considerados superiores a todos los demás y algunos vieron un papel místico en ellos: «El seis es un número perfecto en sí mismo, no porque Dios creó todas las cosas en seis días, sino que Dios creó todas las cosas en seis días porque ese número es perfecto» - San Agustín en La ciudad de Dios (420 d.C.)

Son uno de los misterios de las matemáticas, y la búsqueda de nuevos números perfectos sigue fascinando a muchos matemáticos en la actualidad.

Las conjeturas en relación a los números perfectos son numerosas. Una conjetura es una regla que nunca ha sido probada. Aquí tienes tres:

Los números perfectos de Euclides son todos pares ya que uno de los factores es una potencia de 2. Pero nada prueba, por el momento, que no haya números perfectos impares;
Todos los números perfectos conocidos terminan en 6 o 28, pero de nuevo eso puede no ser siempre así;
Tampoco se ha demostrado que realmente haya infinitos números perfectos.

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La prueba de los teoremas de los números perfectos

El teorema de Fermat en 1640: es Mn = 2 ⁿ - 1; si Mn es primo, entonces n es primo.

Para establecer que cuando 2 ⁿ - 1 es primo, n es primo, hay que demostrar la afirmación si n es compuesto, entonces 2 ⁿ - 1 también es compuesto.

Es decir, n = ab, con a, b > 1, y la identidad x^k - 1 = (x - 1) (x ^k-1 + x ^k-2 + · · · + x + 1) en la que x = 2^a y k = b.

Entonces 2^ab - 1 = (2^a - 1) (2^{a (b-1)} + 2^{a (b-2)} + · · · +2^a + 1), que muestra que 2ⁿ -1 = 2^ab -1 es compuesto, ya que factoriza como dos factores, cada uno mayor que 1 (porque a > 1).

El teorema de Euclides: si Mn es primo, entonces 2^n-1 Mn es un numero perfecto.

Admitimos la función σ(n) como la suma de todos los divisores del entero positivo n. Un numero perfecto k se caracteriza por σ(k) = 2k.

La función σ tiene la siguiente propiedad: si a y b son dos naturales primos entre ellos, entonces σ(ab) = σ(a)σ(b).

Por otra parte:

como Mn es primo, tenemos σ(Mn) = 1 + Mn = 1 + (2ⁿ- 1) = 2n;
σ (2^n-1) = 1 + 2 + 2²+ 2³ + · · · + 2^n-1 = 2ⁿ - 1 = Mn.

Entonces σ(2^n-1 Mn) = σ (2^n- ¹)σ(Mn) = Mn 2ⁿ = 2 (2^n-1 Mn).

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