Dentro del ámbito matemático, el concepto de logaritmo (log) puede presentarse como complicado o difícil de entender. Sin embargo, como cualquier contenido de matemática, con las explicaciones adecuadas, los ejemplos correctos y algunos ejercicios específicos, estamos seguros de que vas a poder aprender este tema sin mayores dificultades.
A continuación, te ofrecemos una explicación detallada acerca de qué son los logaritmos, cuál es su función en matemática y cuáles son las nociones más importantes que tenés que entender para poder aprender este tema de forma efectiva. ¡Un gran complemento para cualquier clase de matematicas en la que estés aprendiendo este tema!
¿Cuál es la definición de logaritmo natural?
Según Science Direct1, "el logaritmo natural es una función matemática que se define como la inversa de la función exponencial. Se denota como ln y se utiliza comúnmente en análisis matemático. El logaritmo natural tiene la propiedad de que la multiplicación de números corresponde a la suma de sus logaritmos".
El logaritmo natural es la inversa de la función exponencial. Esto quiere decir, que si una función eleva e a una potencia, la otra "deshace" esa operación.
👉🏽 e x ↔ln(x)
Entonces, por definición, así como la multiplicación y la división son operaciones inversas, también lo son la función exponencial y el logaritmo.
¿Qué es un logaritmo natural?
Así como existe el número Pi, "también existe un log especial conocido como "logaritmo natural ", designado como "ln". El logaritmo natural es simplemente un logaritmo cuya base es e, el número de Euler"2.
👉🏽 Dado que e se define como 2,7183:
🔹 ln(e₁ = 2,7183) = 1
🔸 ln(e₂ = 7,389) = 2
🔹ln(e₃ = 20,086) = 3.
El log natural, que se escribe de forma gráfica como In(x), es una función matemática que se utiliza para entender relaciones de crecimiento o de cambio continuo. Se llama natural porque su base es el número e≈ 2,71828, también conocido como el número de Euler.
Entonces, en palabras más simples:
Nos indica a qué potencia se debe elevar el número e para obtener ese valor.
Por ejemplo: ln(5)=y significa que ey=5
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Características principales del logaritmo natural
El log natural tiene una serie de propiedades que lo caracterizan:
1)
Su base es el número e
(2,71828).
2)
Solo está definido para números positivos
No existe el logaritmo de 0 ni de ningún número negativo.
3)
Su resultado puede ser positivo, negativo o cero
Según cuál sea el valor del número al que se aplica.
4)
Es una función creciente
A medida que el número aumenta, también lo hace su logaritmo.
5)
Tiene un montón de aplicaciones en variedad de disciplinas
Como física, biología, estadística, probabilidad, economía o ciencias de la computación (especialmente en procesos de crecimiento o decaimiento continuo).
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Propiedades de la función logaritmo natural
La fórmula original de la función logaritmo natural se escribe como:
👉🏽 f(x) = In (x)
Y tiene las siguientes propiedades:
¿Te interesa conocer también el número 0?
¿Qué es el número e en matemática?
El número e es un número irracional, es decir, un número que no puede expresarse como el cociente exacto de dos números enteros, que contiene una cantidad infinita de cifras decimales, y que, por lo tanto, no sigue una secuencia lógica o periódica. Suele ser un tema difícil, por lo que puede ser útil tomar clases particulares de matematica para aprenderlo de forma efectiva.
Cuando queremos estimar una magnitud exponencial:
En economía (para estimar el fenómeno del crecimiento exponencial, o para calcular el interés pagado de forma continua), en biología (para medir la multiplicación de células vivas en un organismo), entre otras disciplinas como química o informática.
Se opone a un número racional cuyo desarrollo decimal sí es periódico, ya que puede expresarse como el cociente de dos números enteros. En este caso, su escritura decimal puede ser infinita, pero presenta una repetición regular de cifras.
- El número e = 2,71828182845904523536028747135266249775724709369995957... ¡Actualmente, se conocen más de 5 mil millones de decimales (registrados el 29 de agosto de 2016 por Ron Watkins)!
El número e hizo su aparición en el siglo XVII con el desarrollo de los logaritmos naturales, gracias a los trabajos de investigación del matemático escocés John Napier (1550-1617). En su obra de 1614, Napier presentó una herramienta para simplificar los cálculos matemáticos en una época en la que no existían las calculadoras: el logaritmo.
Lee también nuestro artículo sobre los números perfectos.
En aquella época no existían las calculadoras ni las computadoras, pero eso no impedía el avance de la investigación matemática. De hecho, ya en el siglo III a.C., Arquímedes había observado que era posible transformar multiplicaciones en sumas utilizando las potencias (exponentes).
El aporte de Napier fue ampliar el trabajo de Arquímedes, desarrollando un método que permitía realizar sumas en lugar de multiplicaciones, restas en lugar de divisiones y divisiones por 2 en vez de extracciones de raíces cuadradas. Así, nacieron las primeras tablas de logaritmos decimales, con una precisión de 8 cifras decimales.
Por ejemplo:
👉🏽 Si 10 3 = 10 x 10 x 10 = 1000;
🔸Entonces log(1000) = 3
🔹Y si 10x = y,
🔸Entonces log(y) = x.
El número e permite determinar para qué valor el logaritmo neperiano (o natural) es igual a 1.
👉🏽 Si ln (x) = y,
🔸Entonces x = exp(y)
🔹Y exp (1) = e.
¿Conoces el número áureo?
Ejemplos de logaritmos naturales
A continuación, vamos a ver cómo se dan los logaritmos naturales del 0 al 3:
Logaritmo natural de 0
El log natural de 0 no existe. Esto se debe a que no hay ningún número real al que podamos elevar e para que el resultado sea 0. Es decir, cuando nos acercamos a 0, el logaritmo natural se hace cada vez más negativo.
Logaritmo natural de 1
El logaritmo natural de 1 es 0 porque:
e0= 1
Esto no significa que no hay que elevar e a ninguna potencia (más que 0) para obtener 1. Por eso, el punto (1, 0) es tan importante en la gráfica de la función. Descubrí también qué son los números primos.
Logaritmo natural de 2
El logaritmo natural de 2 vale aproximadamente:
ln(2)≈0,693
Esto quiere decir que e elevado a 0,693 da aproximadamente 2.
Este es un valor muy utilizado en cálculos de duplicación, ya sea en biología o en economía por ejemplo, para determinar el crecimiento poblacional. ¿Te interesa este tema? Aprende mucho más sobre matemática leyendo acerca del número i.
Logaritmo natural de 3
El logaritmo natural de 3 es aproximadamente:
ln(3)≈1,0986
Esto quiere decir que, e elevado a 1,0986 da 3. Usando este número junto con In(2), suele proporcionar fórmulas que comparan razones de crecimiento o escalas algorítmicas.
Si bien se trata de un tema de matemática complicado, no es imposible de aprender. Si estás necesitando ayuda para entenderlo, no dudes en consultar con los profesores particulares de Superprof para tomar clases particulares de matematica. Usando nuestra plataforma, podrás acceder a una amplia cartilla de docentes, que se encuentran disponibles para guiarte en tu camino de aprendizaje matemático.
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Referencias
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