Desde el principio de los tiempos, las matemáticas han acompañado a la humanidad: en los ciclos de la naturaleza y del cuerpo humano, en el conteo de los días, en las formas que nos rodean.
Dentro de este vasto universo numérico, algunos números parecen esconder secretos más profundos: este es el caso de los números perfectos. Tan antiguos como misteriosos, este grupo ofrece cualidades específicas, por lo que es considerado entre los números más famosos de las matemáticas.
A continuación, te contamos qué es un número perfecto, cuáles son, su historia y sus aplicaciones a fin de que puedas conocer un poco más sobre las maravillas de las matemáticas.
¿Qué es un número perfecto?
Los números perfectos son un tipo especial de número natural que tiene una propiedad única en relación con sus divisores:
Es aquel que es igual a la suma de sus divisores exceptuando él mismo. Estos divisores se denominan factores o divisores propios.
Por ejemplo:
El número 6
Tiene como divisores: 1, 2 y 3.
Si los sumamos: 1 + 2 + 3 = 6, por lo tanto, 6 es un número perfecto.
El número 28
Tiene como divisores 1, 2, 4, 7 y 14. Si los sumamos: 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28, por lo tanto, es el siguiente número perfecto.
Le siguen el número 496 y después el 8128. Como ves, cada vez tenemos números más grandes por lo que la factorización es más compleja.
¿Y si tomas algunas clases particulares de matematica?
¿Por qué se los llama "perfectos"?
Nombrar "perfecto" a este tipo de números no es fortuito. La palabra perfecto, que proviene del latín perfectus, es definida por la Real Academia Española como "adjetivo que determina a aquel o aquello que tiene el mayor grado posible de excelencia en su línea, que posee el grado máximo de una determinada cualidad o defecto".
Es decir, se trata de un elemento o ser que reúne el más alto nivel posible de excelencia en relación con los demás elementos o seres de su misma naturaleza.
👉 ¿Y qué se considera perfecto en matemáticas? El término proviene de la antigua Grecia, donde matemáticos como Pitágoras y Euclides consideraban que un número "perfecto" debía representar armonía y equilibrio, porque se completaba a sí mismo con la suma de sus partes. Descubrí la oferta de clases particulares de matematica en Superprof.
Así, desde esta lógica, un número cuya suma de sus divisores fuera menor se consideraba deficiente, y uno cuya suma fuera mayor, abundante.
Historia de los números perfectos
Los números perfectos, un tema más que frecuente en las clases matematica, han fascinado a los matemáticos desde la Antigüedad y están estrechamente relacionados con la búsqueda del número primo de Mersenne (los que tienen la forma de 2n-1).
➡️ Ya en el siglo III a. C., Euclides escribió en su famosa obra Elementos que: "Si 2n-1 es primo, entonces 2n-1 (2n-1) es un número perfecto". Este resultado muestra cómo, a partir de un número primo de Mersenne, se puede generar un número perfecto.
Ahora que ya está claro qué son los números perfectos, vamos a conocer un poco más sobre la historia de estos números especiales. ¿Conoces el número áureo?
➡️ Siglos más tarde, el filósofo y matemático René Descartes escribió a su colega Marin Mersenne afirmando que todo debía seguir la fórmula de Euclides, aunque no llegó a demostrarlo. Así, este par de matemáticos sentaron las bases de lo que sería la teoría del los números perfectos y de los números primos.
➡️ Fue el matemático suizo Leonhard Euler - el padre del número e- quien en el siglo XVIII, confirmó y demostró esa afirmación. La combinación de los resultados de Euclides y Euler permitió obtener una caracterización completa de los números perfectos pares.
➡️ Los primeros cuatro números perfectos (6, 28, 496 y 8128) ya eran conocidos desde la antigüedad y aparecen mencionados en las obras de Nicómaco de Gerasa y Teón de Esmirna. El quinto número perfecto fue mencionado en un códice latino de 1456. Los números perfectos sexto y séptimo fueron descubiertos por Cataldi en el siglo XVI, y el octavo, en 1772, por Euler.
➡️ Hacia mediados del s. XX, se conocían 12 números perfectos, pero la búsqueda se aceleró con la llegadas de los ordenadores y el desarrollo de algoritmos especializados. Así, desde la década de 1990, el proyecto colaborativo GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) ha permitido descubrir nuevos números primos de Mersenne y, por lo tanto, nuevos números perfectos, cada vez más grandes. Echa un ojo también a nuestro artículo sobre el número i.
¿Para qué sirven los números perfectos?
Si el número primo es considerado por muchos matemáticos como la base fundamental de la aritmética, los números perfectos no tienen ninguna aplicación práctica directa. Esto se debe a que no se usan para resolver ecuaciones o realizar factorizaciones, ni desempeñan un papel en campos modernos como la criptografía.
En la antigüedad, sin embargo, se los consideraba números especiales o superiores. De hecho, podemos encontrar escritos de pensadores que les atribuían a estos un significado simbólico o incluso místico.
El seis es un número perfecto en sí mismo, no porque Dios creó todas las cosas en seis días, sino que Dios creó todas las cosas en seis días porque ese número es perfecto
San Agustín en La ciudad de Dios (420 d.C.)
👉 Si bien hoy día no se les suele atribuir ese tipo de significado, continúan siendo uno de los misterios de las matemáticas, y la búsqueda de nuevos números perfectos sigue fascinando a muchos matemáticos en la actualidad. Aunque no tengan una utilidad práctica directa, su estudio ayuda a comprender mejor la estructura de los números y ha impulsado el desarrollo de teorías sobre el grupo numérico primo de Mersenne. ¿Te interesa conocer también el número 0?
Conjeturas sobre los números perfectos
Una conjetura es una proposición que parece cierta, pero aún no ha sido demostrada. En torno a los números perfectos, algunas de las más significativas son:
Sin embargo, no se ha demostrado hasta el momento que no pueda existir un número perfecto impar.
Pero tampoco está demostrado si esto se cumple siempre.
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¿Cuáles son los números perfectos?
Como se mencionó anteriormente, aunque muchos matemáticos afirman que existe una infinidad de números perfectos, lo cierto es que esto nunca se ha demostrado. En la actualidad solo conocemos 50 de ellos, sin siquiera estar seguros de que no haya números intermedios perfectos sin descubrir desde el 47.
¡Descubrí también qué es el número Pi!
Hay solo tres números perfectos inferiores a 1000: 6, 28 y 496 y que el último número perfecto se descubrió en enero de 2018.
Los números perfectos de tipo par de la fórmula 2n-1 (2n - 1) son números triangulares (e incluso hexagonales). Por otro lado, todos los números perfectos pares, excepto el primero, son la suma de 2(n-1)/2 primeros cubos es impar. Si te parece complicado, las clases particulares de matematica pueden ser un excelente recurso para facilitar tu aprendizaje. A continuación te dejamos un ejemplo:
- 28 = 13+ 33,
- 496 = 13+ 33 + 53 + 73,
- 8128 = 13+ 33 + 53 + 73 + 93 + 113 + 133 + 153.
Los primeros ocho números perfectos son:
- 6
- 28
- 496
- 8128
- 33.550.336
- 8.589.869.056
- 137.438.691.328
- 2.305.843.008.139.952.128
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Esperamos que este artículo te haya resultado útil y haya despertado tu interés por este campo. Si estás teniendo dificultades para aprobar tus exámenes de matemáticas o para entender los temas que se ven en el aula, no dudes en recurrir a Superprof para tomar clases particulares de matematica. Contamos con una amplia cartilla de profesores especializados que se encuentran disponibles para guiarte en tu camino de aprendizaje desde un enfoque dinámico y entretenido. ¡Esto ofrece la posibilidad de estudiar matemática de una forma totalmente diferente!
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SEÑORES PROFESORES
Por medio de la presente, no sin antes felicitarlos por su iniciativa, me comunico con ustedes con el fin de señalarles que debajo del subtítulo “Los 8 primeros números perfectos” algunos de los números perfectos que citan están equivocados, por ejemplo; el 5to, el 6to y el 7mo.
El 5to es, 33.550.336
El 6to es, 8.589.869.056
El 7mo es, 137.438. 691. 328
…como los citan hacia el final de la página.
Sin otro particular, los saludo atentamente.
Juan Manuel Tineo.
Bs. As.
Argentina